Soit la fonction

y— /(«, •%»", ...) et

m = F(j?), i' = o(.rj, ir='!(jc),

y sera alors une fonction composée de x.

Nous aurons, d'après ce qu'on vient de démontrer (566), en supposant toujours des accroissements infiniment petits,

* dy K dy A dy K

Ay — -y- lu -f- -j- Ai> -h -i- At*> -f- . . . -+- w, "' au dv clKv

w étant infiniment petit relativement à Aj. En divisant par Aj? les deux membres de cette relation, il

vient

Ay dy A?/ dy Ac> dy Aiv r,>

Aj? du \x dv Ax d\v A# ' " " \jl-

En passant alors aux limites (534-), ce qui est permis si le nombre des variables u, v, w, . . ., est limité (34-1), on trouve

évidemment (34-3), puisque (566) ^— devient nul,

dy dy du dy dv dy dw

dx du djc dv dx dw dx

dy Il ne faut pas oublier (566) que, dans cette expression, /,

7/^' H S " 'y sont ^es ^wées partielles de la fonction y par rapport aux différentes variables u, v, w, . . ., tandis que ^->

-t-> -s— } —y sont les dérivées des variables ou des fonctions dx dx

u, v, w, . . . , par rapport à x.

Quant au premier membre de l'expression (i), c'est, si Ton veut, la dérivée complète de la fonction y, dans laquelle on fait varier toutes les quantités dépendantes de x.

On peut observer îi ce sujet que, s'il arrivait qu'on eût, par

exemple, u r= x, -j- deviendrait, dans le second membre de

l'expression (i), -f- et serait la dérivée partielle de la fonction par rapport à x seulement, le premier membre représentant toujours sa dérivée complète.

En résumé :

La dérivée de la fonction composée y est la somme de toutes ses dérivées partielles par rapport aux variables dont elle dépend, chaque dérivée partielle étant multipliée par la dérivée de la variable correspondante par rapport à x.

En multipliant les deux membres de l'égalité (i) par dx, on a (549)

(2 ) dy = -/- du -h -£• dv -h -f- dw -4-

x ' J du dv dw

Si l'on regardait u comme seule variable, on aurait (549), pour la différentielle dy,

On peut donc dire, dans le cas de plusieurs variables, que

rfv

-f-du est la différentielle partielle de la fonction r relalivetlu

ment à u.

D'après l'expression (2), le principe de la différentiation des Jonctions composées s'énoncera alors comme il suit :

La différentielle d'une fonction composée est égale à la somme de ses différentielles partielles par rapport à chacune des variables qui y entrent explicitement.