Soil la fonction composée

(l) jr=zti-t-v—tf

où m, v, t, sont des fonctions de x dont les différentielles sont supposées connues et dont le nombre peut être quelconque, pourvu qu'il soit fini.

Si Ton donne à x un accroissement \x, il en résulte pour les autres variables les accroissements simultanés

lu, Ar, A*, lv, et l'on a

( 2 ) y -h A v — u -h lu -t- v 4- Ar — t —1t.

Si l'on retranche la relation (i) de la relation (2), il vienl Av ~ Aw 4- Ai' — It et, en divisant par lx9

Av Au Ar 11

Ix Ix A.*- Ix

En passant aux limites, ce qui est permis si le nombre des termes, soit positifs, soit négatifs, du second membre est limité, on trouve (549)

dy du dv dt

dx dx dx dx

et, en multipliant de part et d'autre par dx,

dy — du -+- dv — dl.

La dérivée ou la différentielle d'une somme algébrique de fonctions de x est donc égale à la somme algébrique des dérivées ou des différentielles de ces fonctions.

Si Tune des fondions considérées se réduit à une constante, sa dérivée est nulle ainsi que sa différentielle (549). Ainsi, dans la dérivation ou la diflërentialion de la fonction somme entendue dans un sens général, toute constante disparait.