Soit d'abord la fonction composée (i) f=uv
où u et v sont des fonctions de x.
Si Ton donne à x un accroissement bx, u, v et y prennent les accroissements simultanés
Au, Ac, Av.
On a donc
l v ~\- Av— (u -f- A*/) (v H- Ar) (2) 1 "
/ - UV -r C Am -H U Ai' -H Am Ap.
Si Ton retranche la relation (1) de la relation (2), il vient
A )- — v Am -+- h Ar -h lu ùlv
ou, en divisant de part et d'autre par A.r,
A v Aw Ae Aw Ar .
A./- Ax ' Aj? Âx A^
En passant aux limites, ce qui est permis lorsque le second membre ne renferme qu'un nombre limité de termes (342), le dernier terme de ce second membre s'évanouit à cause de liai A.r = o, et l'on trouve
dy du dv
dx dx dx
ou, en multipliant les deux membres par dx,
dy — v du •+- u dv.
La dérivée ou la différentielle du produit de deux fonctions est donc égale à la somme des produits obtenus en multipliant chaque fonction par la dérivée ou la différentielle de l'autre.
57J . Supposons que la fonction u devienne une constantes et que l'on ait
/ = cw
AEGÈBHE SUPÉRIEURE. 4^7
11 faudra faire dans les résultats précédents (570, 54ô) -j— =10, au = o, et 1 on aura
-j— — c -7- el dy — c dv. dx dx J
La dérivée ou la différentielle d'une fonction multipliée par une constante est donc égale à la dérivée ou à la différentielle de cette fonction multipliée par la même constante.
Si Ton considère spécialement la troisième fonction simple (557)
y z=z ax,
on a immédiatement
-j- ■= a, dv — a dx.
dx
On aurait directement, en suivant la marche indiquée au no 561,
y-ax,
y -+- Aj — a(x 4- Ax) ;• d'où, par soustraction,
Av = a Aa-, ~- — a, dy= a dx.
572. Revenons au produit de deux fonctions u et v (570) et à la formule
dy — r du -f- u dv.
En divisant les deux membres par le produit r = uvy on en déduit
dy du dv
Le rapport de la différentielle d'une fonction à cette fonction a reçu le nom de différentielle logarithmique de la fonction.
On peut donc dire encore que la différentielle logarithmique du produit de deux fonctions est égale à la somme des différentielles logarithmiques de ces fonctions.
Cette propriété, analogue à la propriété fondamentale des logarithmes, explique la dénomination employée.
Elle va nous permettre de trouver rapidement et élégamment la règle de différenlialion du produit d'un nombre quelconque de fonctions, pourvu que ce nombre soit fini (570).
