Soit, par exemple

yz=z uxutuz. .. //„,

// étant fini et «,, w„ u3t . . ., un représentant des fonctions de x.

Nous pourrons considérer le produit donné comme un produit de deux facteurs, ux d'une part, et utu2...un d'autre part; puis, ce dernier produit comme un produit de deux facteurs us et //3 . . . un; et ainsi de suite. Nous aurons alors successivement (572)

dv __ dttx d( ut uz . . . u„ ) y ~~ ut </,£/,...//„

dux du* d{u3. . . u„)

"l Wt "3 . . . «„

dux dtt2 du3 d(. . . un)

La dernière égalité ainsi obtenue sera

dv du, du* du 2 du„

y </, u2 //3 un

et elle exprime que la différentielle logarithmique du produit d'un nombre quelconque de fonctions, ce nombre étant fini, est égale à la somme des différentielles logarithmiques de ces fonctions.

En multipliant les deux membres de cette égalité par v cl en les divisant par dx, on a

dy y dux y dut y du*

, Y du„

dx ux dx ut dx m5 dx

ua dx

Si l'on multiplie seulement par/ les deux membres de la même égalité, on trouve

dy •= ^- du, -+- — diu -h — duz -t- . . . -h — du„.

" II. * II * II. Il

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. ^6t)

On peut donc dire que la dérivée ou la différentielle du produit d'un nombre quelconque n de fonctions, n étant fini, est égale à la somme des produits obtenus en multipliant la dérivée ou la différentielle de chaque fonction par le produit de toutes les autres fonctions.

Si l'une des fonctions se réduit à une constante, le terme qui contient sa dérivée ou sa différentielle disparait du second membre (538, 549); mais cette constante se retrouve dans tous les autres termes et peut être mise en facteur commun. Ainsi, dans la dérivation ou la différentiation de la fonction produit, entendue dans un sens général, toute constante persiste (568).

Différentiation d'un quotient.