Si l'on considère spécialement la fonction simple
quotient (557)
on doit faire le dividende u égal \ une constante et le diviseur v égal à x. On a ainsi (5W)
dy a , adx
dx x1 ' * x1
x -+- A.r ' d'où, par soustraction,
* X -H Ax X
— a àx
On en déduit évidemment, en divisant par bx et en passant aux limites,
dy a .adx -/-=. et dr = r-
dx x* " x1
La dérivée ou la différentielle est ici négative, parce que la l fonction diminue quand la variable augmente. Les deux ac- | croissemertts sont ainsi de signes contraires., et leur rapport est négatif. |
On aurait directement, en suivant la marche indiquée au n° 561,
Différentiation d'une puissance quelconque. 576. Soit la fonction composée
où u est une fonction de a: et m une constante.
Pour arriver à une règle complètement générale, nous devons distinguer plusieurs cas :
i° m est entier et positif.
y étant alors le produit de m facteurs égaux à w, sa différentielle logarithmique (573) est égale à la différentielle logarithmique de tt répétée m fois. On a donc
dy du
et, en multipliant de part et d'autre par y = «'", il vient
dy •=. mum~x du.
q° m est fractionnaire et positif.
Soit m = —, p et q étant entiers et positifs. II en résulte
p y = un.
En élevant à la puissance q les deux membres de cette égalité, on a
y<*—uP.
Ces deux fonctions étant constamment égales, leurs différentielles le sont (5W), et il en est de même de leurs différentielles logarithmiques (572). On ;peut donc poser
dyi __ duP ~yï ~~ Hp'
c'est-à-dire, puisque p et q sont entiers et positifs (i°),
dy du
47 2 ALGÈBttE SUPÉKIEURF.
On en déduit, en divisant par q et en multipliant par
J <l « </ ou encore
dy •=. mu"'-1 du.
3° m est un nombre négatif, entier ou fractionnaire.
Soit m .---. — n, n étant un nombre positif, entier ou fractionnaire. Il en résulte
ou
yun-=. i.
En appliquant au produit yun le théorème de la différentielle logarithmique (573) et en remarquant que i est une constante dont la différentielle est nulle (5W), il vient
dy dun
c'est-à-dire, puisque n est entier et positif (ift),
dy dun du
En multipliant les deux membres de cette égalité par >-. u-n, on trouve
i du . »
«y — - — nu n — — — nu- n~l du.
ou encore
dy — mum l du.
Cette dernière formule est donc complètement générale et reste vraie, que l'exposant m de la puissance um soit entier ou fractionnaire, positif ou négatif.
En divisant par dx les deux membres de la formule, on a, également d'une manière générale,
dy m i du
-f- = mum~x — • dx dx
La dérivée ou la différentielle de la puissance miime d'une
fonction est donc égale à m fois le produit de la puissance (m — iyème de la fonction par sa dérivée ou sa différentielle.
577. La diiïérentiation des radicaux est comprise dans la règle précédente.
Soit la fonction composée
y = "\/lt r= um.
Nous aurons
dy~ — um dt/,
c'est-à-dire
, I —zr- , dit
dy= —u m du = — r
J m '" T..1 mu "l
ou
dy =
el, en divisant par dx de part et d'autre,
du dy dx
La dérivée ou la différentielle de la racine miéme d'une fonction est donc égale à sa dérivée ou à sa différentielle divisée par m fois la racine mième de la puissance (m — i )'*'«<■ de la fonction.
Dans le cas particulier de m = 2, qui se présente fréquemment, on a
y = \fu
et
du
, du dy dx
dy— — j=> -4- = — t=-
2 SJ U ax 2 V u
La dérivée ou la différentielle de la racine carrée d'une fonction est donc égale à sa dérivée ou à sa différentielle divisée par le double du radical.
