D'après ce qu'on vient de voir (576, 577), si l'on con

sidère la cinquième jonction simple (557)

r — xmy on a, pour sa différentielle et sa dérivée,

dy — mxm~l dx, ~- — mxm~x.

Si Ton considère la sixième fonction simple (557)

mi —

on a, également, pour sa différentielle et sa dérivée, dx dy i

dy.

y#ï=i dx - m y~a

Solution des questions précédentes par le principe de la différentiatkra des fonctions composées.

579. On peut résoudre facilement toutes les questions précédentes, à l'aide du principe de ia dfifférentiation des fonctions composées (567).

Somme algébrique. - Soit la fonction composée

où u, c, t, sont des fonctions de x. Nous .aurons immédiatement (567)

, dy . dy , dy . dy — -—dit -h -y- dv -+- -r- dt.

J du dy dt

dy Mais-—* dérivée partielle de la fonction par rapport à w,

dy dy

est égale à i, et Ton a, de même (569), -j- = i et -^ =— i.

Il vient, par suite, comme précédemment (568),

dy=du-i- dv — dt.

Produit. — Soit la fonction composée

où m, r, t, sont des fonctions de x. On a toujours (567)

dy = -^-du -H -/ rfi> -h -zrAdt\ du dv dt

• . r»+,A x dy dv dy ~

mais, ici (o71), -7- = vt, -f- — ut, -~ = wr. Par suite, on <fo w dt

retrouve la formule (573)

dy =zvtdu-\~ ut dv -h uv dt.

Quotiknt. — Soit la fonction composée

où u et p sont des fonctions de x. On a encore (567)

dy=^~du^~ -£dv..

J du dv

D'ailleurs, ^ = i (571 ) et $■' = — 4 (JB5). On retrouve

donc aussi la formule (574)

, 1 , u . v du — w dv dy=-du--.dv

Nous nous servirons encore du même principe pour démontrer un théorème important qui est d'un usage fréquent en Géométrie analytique (t. V).

Théorème des fonctions homogènes.

580. On dit qu'une fonction de plusieurs variables est/iomogène et du degré m lorsque, en multipliant chaque variable par une variable auxiliaire quelconque ou une indéterminée t, la fonction elle-même se trouve multipliée par tm.

Soit une pareille fonction représentée par

D'après sa définition même, on aura

(1) /(«a?, ty, tz9 ) = t'»f(a:,y, ;,...).

On peut alors différentier ou dériver les deux membres de cette expression, en regardant t comme seule variable. Le second membre est, dans ce cas, le produit de .La puissance tm par une constante^; le premier membre est une Jonction composée de t, car on peut .poser tœ =«a, -ty = u, tz = «\ — .

i'jÔ ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

En appliquant, d'une part, le principe des fonctions composées sous la forme (i) [567], en remarquant qu'on a (571 1

dtx

dly

dlz

— - — jt\

et, d'autre part, les règles relatives à la dérivation d'un produit et d'une puissance (571, 576), il viendra, en désignant, pour simplifier, la fonction par/ dans le premier membre,

df df dt

Cette relation ayant lieu, quel que soit t, on peut supposer t — i, et elle devient

dt df df

Cette égalité (2) constitue le théorème des fonctions homogènes. On peut donc l'énoncer comme il suit :

La somme des dérivées partielles d'une fonction homogène par rapport aux variables dont elle dépend, chaque dérivée partielle étant multipliée par la variable correspondante, est égale au produit de la fonction par son degré.

581. Désignons par y(x,y, z, . . .) la dérivée partielle (066, 567) de la fonction homogène /(r, 7, z, . . .) par rapporta*. Nous aurons

df(x,y,z,...)

yiXfftS* •..)--

En considérant x comme seule variable dans le second membre, on peut donc écrire successivement, d'après ce qui précède (580),

df(tx9 tyytz, . . .)

= €ft«/(art y,s,...) im x df(x%y%z%..:\ tdx dx

— tm~l y(x,y,z, ...).

Il en résulte immédiatement (580) que les dérivées partielles du premier ordre d'une fonction homogène de degré m sont des fonctions homogènes de degré m — 1 .

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 477

Exemples et applications.

582. Nous venons d'exposer les règles de dérivation et do diflférentialion qui concernent les fonctions. algébriques explicites, et il nous resle à considérer les fonctions transcendantes. Mais, auparavant, et pour habituer le lecteur à la pratique de ces premières règles, nous présenterons quelques exemples et applications.

i° Soit une fonction entière de x (ii7)

y = A0.r'" 4- Ai .* '" -1 -4- A2 ./'" 2 -+- . . . -i- Am 1 x -h \m.

En appliquant les règles relatives à l'addition, à la multiplication et a l'élévation aux puissances (308, 371, 576), on a immédiatement pour sa différentielle

d\ =[mA0a:/',-,+(/«-i)Ai^"|-J+(w — a ) A» .«•"'- 3 -i-... -t-A,„i ]</./•.

2° Soit une fonction rationnelle de x (147)

On remarque que les deux termes de cette expression s'annulent pour .r = i, ce qui prouve qu'ils sont tous deux divisibles par x — i (14) ou qu'ils admettent ce facteur commun. Si on le supprime, il vient

En appliquante règle relative à un quotient (574), on a

__ d.r{x— 5)— dx(x — j) a ,

3° Soit la Jonction comptée

En appliquant les règles relatives à l'addition, à la multiplication, à la division et à l'extraction des racines, il vient

L?. \/x œ ixyx\

On peut aussi transformer l'expression à l'aide des exposants fractionnaires et négatifs et écrire

) =a -h bx* — cx-l-\-gx 2.

i'jS ALGBBHE SUPÉRIEURE.

Jl en résulte, d'après la règle relative aux puissances (576)

dy = - bx 2 dx -+- ex-1 dx gx * dx,

ou, comme précédemment,

L2v/r x ixyx}

4° Soit la fonction composée

y = ^ax*-t-bx-hc ou

y — y/ u t on posant u = ax* -+- b x -r c.

En appliquant la règle relative à l'extraction des racines (377), ainsi que les autres règles nécessaires, on a

, du , ia.r -h /;

dy = — — ou dy = — — . dx.

2 y u 'j. ^axx-r- bx-r- c

On trouvera de même, pour la fonction composée,

y = yax^-i-bx* -r- ex -+■ g ou

y -- i/u . en posant u — ax* -+- bx1 -\- c x -+• g,

dy = — ~ ou dy — -— dx.

3 y/tt* 3 y/(ax*->r £.r2-+-cr -+-«•)*

3° Soit la fonction composée

En appliquant la règle relative à la différentiation d'un quotient (374). nous aurons (561)

ii - i.

( rt2 —./•*) 2 r/r x ( à1 — .r 2 ) * ( — 2 .r /£r )

c'ost-à-diro, en simplifiant,

(«2 — .r2)2-h.r2(tf2 — .r2) â ,

«r = r - — dx.

En multipliant les doux termes de la fraction du second membre par («* — •'*)*, on trouve finalement

dy = a-"**1 = j-o-r.

(«* — .r2)2 (rt2— .r2)2

6° Soit la fonction composée

y -- (axm-\ b)P y = uf>, en posant a xm -+• b =u. Nous aurons (576)

dy=puP-*du ou dy = p(ax'n-h b)i,~i d(axnt-h 0), c'est-à-dire

dy —p(a.vm-h b)P~i maxm~x dx dy = pmaxm~l (axm -h b)P~l dx.

583. 70 Chercher quelles sont les courbes où la sous-normale est, en tous les points, une quantité' constante p.

Nous avons vu (Géom., 751) ce qu'on appelait sous-normale et soustangente d'une courbe.

Sort (/îg. 6) la courbe quelconque AB, rapportée à des axes rectan-

Fig. 6.

gulaires Ox, Oy. Menons, en un point quelconque M, l'ordonnée MP, la tangente MT et la normale MN.

La projection PN sur l'axe Ox de la portion de normale comprise entre le point de contact M et le pied N de la normale sur l'axe, s'appelle la sous-normale au point M; de même, TP est la sous-tangente au même point.

Soient x et y les coordonnées du point quelconque M. Il s'agit du trouver l'équation y — f(x) de la courbe AB, c'est-à-dire la relation qui lie .^es coordonnées variables x et y d'après la condition imposée.

La figure donne

PN = MP langPMN = MP tangMTx.

Mais tangMT.r représente précisément (53.)) la dérivée -r- de la fonction y = J(x), MP est l'ordonnée y et PN est la quantité constante

48t) ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

donnée p. On a donc

ou, en renversant Tordre et en multipliant do part et d'autre par idx.

ir dy — ipdx.

Il est évident que le premier membre de cette égalité représente la différentielle dejr* ot, le second membre, la différentielle de ipx. Les différentielles de ces deux fonctions de x étant constamment égales, ces fonctions elles-mêmes ne peuvent différer que par une constante arbitraire C (543, 5 i9), et l'on a

V2 = ipx -h C.

Telle est l'équation cherchée. Elle représente, à cause de la constante arbitraire, toutes les paraboles qui ont p pour paramètre (Gebm.y 738. 755, 756) et pour axe l'axe des x.

En effet, si une parabole, de paramètre />, est rapportée à son axe et à la tangente au sommet (Gëom., 754, 756). son équation est

y*=. ipx.

Si, maintenant, sans changer l'axe des x, on déplace Taxe des y parallèlement à lui-même en le transportant, vers la gauche par exemple, à une distance quelconque A- de sa position primitive, il faut évidemment changer x en x — À-, et l'équation de la courbe prend la forme

y* = 7.p(x —k) = ipx — a/?A-,

c'est-à-dire, en posant G = — a/?A-,

5S4. 8° Chercher les courbes où la longueur MN de la normale (Jîg. 6 j est, en tous les points, égale à une constante a.

En 80 reportant à la figure, on doit avoir ici

(i) MN2 = MP*-f-PN\

Mais nous venons de trouver, dans la question précédente.

* dx Nous aurons donc, en substituant dans la relation (i),

Cette équation est satisfaite pour

puisque cette condition entraîne (535)

Une première solution du problème est donc donnée par les deux droites menées de part et d'autre do Taxe des x\ parallèlement à cet axe, à la distance a.

Laissant de côté cette solution, on déduit do l'équation (2)

, y dr a r dr

dx = ' = — ' •

y/tf1 — jr* 2 ya> — j*

Le premier membre do cette égalité représente la différentielle de x, tandis que le second membre représente évidemment (577) la différentielle de — ^a* — y* . Ces deux quantités ne peuvent donc différer que par une constante arbitraire c, et Ton a

x = — \Jax — jr%-+- c, c'est-à-dire

Telle est Péqualion cherchée. Elle représente tous les cercles do rayon a, ayant leurs centres sur l'axe dos x.

En effet, quand le centre du cercle de rayon a est à l'origine des coordonnées, son équation est (Gcbm., 75 i)

Si Ton déplace, maintenant, l'axe des j, comme dans lo cas précédent, vers la gauche par exemple, en le transportant à la distance c, il faut changer précisément x en x — c, et l'on a, pour l'équation du cercle,

(x — c)îH-j,= a*.

Remarquons que les deux droites de la première solution sont les tangentes indéfinies, parallèles à l'axe des x, qui enveloppent tous les cercles de la seconde solution. Cette seconde solution renferme d'ail* leurs évidemment la première.

De C. — Cours. III. 3i

48a ALGÈBRE SUPÉRIEURE.