Soit la fonction logarithmique simple (557) yz=logx

Les logarithmes sont rapportés à une base positive quelconque a.

En suivant la marche indiquée au n° 561, si l'on donne à x, à partir d'une valeur déterminée quelconque, un accroissement Aâ?, y prend un accroissement A/, et l'on a

j-hA/=:log(4?-hA,r).

On en déduit, par soustraction,

Aj = log(.z-H A.r) — loga? = log- = log( n — -\

et, en divisant par Ax,

Ay ■"(■"-£)

U} Ax~ A*

Si Ton fait tendre Ix vers zéro, il en est de même delà

fraction — • Le numérateur du second membre de l'en-

lité (i) tend donc vers legi ou vers zéro (496). Par suite, la limite de -r- se présente sous la forme -•

ùkX r o

Pour lever cette indétermination, qui n'est qu'apparente,

nous poserons

— =z a, d'où Aa? = aa?,

et a tendra vers zéro en même temps que Ax.

En substituant dans le second membre de l'égalité (i), il viendra

Av log(i-j-g) __ « *^ *' log(i H- a)* Aa? aa? x x

Pour passer à la limite, il faut faire tendre a indéfini-

ment vers zéro; mais alors (416) la limite de (i + a)a est le nombre e, base du système des logarithmes népériens (504). Comme la limite du logarithme d'un nombre est évidemment égale au logarithme de la limite de ce nombre, on a finalement

rk i dy loge

Dlog* = - = —

et

d loga? = dy = — — dxf

quel que soit le système de logarithmes considéré.

On voit que la dérivée de \o%x est égale à l'inverse de la variable, multiplié par le module relatif M = loge, à l'aide duquel s'effectue le passage des logarithmes népériens aux logarithmes employés (500).

586. Dans le cas oùa = io, c'est-à-dire où Ton emploie les logarithmes vulgaires, on a (506)

M = loge = j— — = 0,4342944819. . . .

D'une manière générale, et L désignant les logarithmes népériens (505), on a (500)

On peut donc encore écrire

dy i , dx

et dy =

dx xLa xLa

484 AXGÈBRE SUPÉRIEURE.

Si Ton suppose a = e, il vient

et Ton a

nr dy r dx

dx x J x

Ainsi, quand on fait usage du système népérien, la dérim

de Lx est simplement égale à l'inverse de la variable.

dx On donne à la différentielle — le nom de différentielle

logarithmique de x (572).

587. Lorsque la variable x est remplacée par une fonction de x, on n'a qu'à appliquer le principe de la différentiation des fonctions de fonctions (565).

Soient

y=i\ogu et u = y(x).

Nous aurons

dy \ose du . loge ,

-:- = — — -t-> dy=—£-du.

dx u dx J u

Si l'on a, par exemple, u = xm, il vient (576)

dx xm x J x

588. La règle de différentiation de la fonction logarithmique peut être très souvent appliquée à la recherche des différentielles d'autres fonctions.

Soit, par exemple, la fonction

où u est une fonction de xf et que nous avons déjà considérée (576).

En supposant m quelconque et en prenant les logarithmes des deux membres dans le système népérien (505), il vieut

// = mlu ;

d'où, en prenant les différentielles des deux membres de cette nouvelle égalité (586, 571 ),

dy du

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 4^5

Il en résulte, en multipliant de part et d'autre par y = «w, dy = d( um ) = mum-1 du,

comme précédemment, mais bien plus rapidement (576)*

Soit encore le produit

y = uvt,

où m, i», t9 sont des fonctions de x.

Supposons qu'il puisse y avoir des facteurs négatifs. Pour tourner cette difficulté, puisque les nombres négatifs n'ont pas de logarithmes réels (Wl), élevons les deux membres de l'égalité au carré et prenons leurs logarilhmes népériens. Nous aurons (493)

En différentiant les deux membres de cette nouvelle égalité, il vient (586, 576)

dv* __ du^ ds^ dP y1 ur v1 t*

OU

2 Y dy 2 u du iv dv itdt

c'est-à-dire, en divisant par i et en simplifiant,

dv du dv dt

comme précédemment (573).

Différentiation de la fonction exponentielle.