Soit la fonction exponentielle simple

où a est un nombre quelconque positif.

Nous déterminerons d'abord directement sa différentielle en suivant la marche indiquée au n° 561.

Donnons à x, à partir d'une valeur déterminée quelconque, un accroissement A,r. Il en résultera pour y un accroissement Ayy et l'on aura

y -+- A/ — ax+àx,

d'où, par soustraction,

Ay — a**^ - ax— ax(alx— i) et, en divisant par Ax,

Av „aAar-i

Si l'on fait tendre Ax vers zéro, que a soit plus grand ou

plus petit que i, la limite de aAx est i (k82). Par suite, la ii-

Av o

mite de -— se présente sous la forme -•

Ax l o

Pour faire disparaître cette indétermination, qui n'est qu'apparente, posons

a tendant vers zéro en môme temps que Ax. De cette relation on déduit d'ailleurs

et, en prenant les logarithmes des deux membres dans uo système quelconque,

Ax loga = log(i -h a), d'où

log(i-t-a)

Ax =

loga

En remplaçant, dans l'égalité (i), aA:c— i et Ax par les valeurs que nous venons d'indiquer, nous trouverons

Ar=a* " =a» ]°za -~* loga

Ax log(i-t-a) ' i / v -

loga -log(i-Ha) log(n-a)»

a et Ax tendant simultanément vers zéro et la limite de log(i -+- a)a pour a = o étant e, nous aurons finalement

ax loge ^ loge

Remarquons que ces expressions subsistent, quel que soit le système de logarithmes adopté; car le rapport des logarithmes de deux nombres quelconques demeure constata quand on passe d'un système à un autre (502).

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 4$7

On voit que la dérivée de la fonction exponentielle est égale à, la fonction elle-même, multipliée par le rapport des logarithmes du nombre a et de la base népérienne,