Si Ton emploie le système vulgaire, on a

loga = i et Mt= y^t = L. 10 = 2,3025850929. . .,

Mt étant le module relatif qui permet de revenir des logarithmes vulgaires aux logarithmes népériens (506).

Si Ton emploie le système népérien, ona /e = i et, par suite,

Dax= -j~ = ax la, dax= dy = ax la dx.

591. Si a devient égal à e, la fonction exponentielle devient

y = ex, -et l'on a

Bex = -j- — &*, de* =zdf — e*dx.

Il en résuite ce fait remarquable : la fonction ex est égale à sa dérivée, de sorte qu'elle se reproduit indéfiniment par dérivations successives.

592. Lorsque la variable x est remplacée par une fonction de x, on n'a qu'à appliquer le principe de la différentiation des fonctions de fonctions.

Soient

yz=au et a = <p(j?).

Nous aurons, en prenant les logarithmes népériens,

Bau = -f-=a»la -.-, dau— dy — a" la du. dx dx

593. Cherchons maintenant la différentielle de la fonction exponentielle, en la ramenant à celle de la fonction logarithmique. Le résultat sera presque immédiat.

Soit la fonction

y = ax.

Prenons les logarithmes des deux membres, dans le sys-

488 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

tème népérien pour plus de simplicité. Nous aurons ly — lax=z x la.

En différenciant les deux membres, il vient

— '— z=z la dx%

d'où, en multipliant de part et d'autre par y= ax,

dy dy = ax la dx et -j- = ax la,

comme précédemment (590).

594. Supposons, inversement, qu'on veuille déduire la différentielle de la fonction logarithmique de celle de la fonction exponentielle.

Soit la fonction

y =l \ogx}

les logarithmes étant pris dans le système dont la base est a. On en déduit la fonction inverse (507)

dont la dérivée est (589)

dx yl°£a

dy ~~ loge '

Les logarithmes étant rapportés à la base a et a? étant s,

il vient

dx x

dy ""loge* c'est-à-dire (563), pour la fonction logarithmique,

£=' Î££f et dy=l^îdx,

dx dx x J x

comme précédemment (585).

Différentiation de uv.