i° Différent ter la fonction
y = ar*.
Posons — x = u, d'où du = — dx. Il viendra (387)
y = ar* = a", c'est-à-dire
dj=auladu=—a-*ladx et -j- = — arxla.
49° - ALGEBRE SUPÉRIEURE.
Si Ton a a = e ou si la fonction est
y = *-■*, on trouve donc
dr = — e~xdx et — = — e~x. dx
La fonction e~x et sa dérivée sont donc égales et de signes contraires.
2° Différentier la fonction
y — ainx.
En posant mx = «, d'où du = mdx, on a
dr dr = auladu — mamxladx et -f- = maniXla.
J dx
Si la fonction donnée était
r = a~mx, on aurait de môme
*(>* = — ma~mxladx et -r- = — ma~mxla.
3° Différentier la fonction
y = Aemx-t-Be-mx.
D'après ce qui précède, on a immédiatement
dy = mke'nxdx — mBe-mxdx = w( A*?'»*— B<r»'*)rfj:
et
dr
-jf- = m(Aemx— B<?-'»*).
4° Différentier la fonction
ee* J' = e .
Nous appliquerons ici le théorème des fonctions de fonctions, en posant
u = c«* et p = **.
Nous aurons alors
j> • =. eu, u = ev, v = ex.
Il en résulte (565)
dy = euevexdx = e€ e^c^dx
et
-f- = e ec cx.
dv 5° Différentier la fonction
Nous aurons, en posant x -+- /•*-— 1 = «,
djr = — et du — (i-\ ~^~ — ) dr,
a s/jc
c'est-à-dire
d — (/•*'— I H- .r)rf.r dr
{x -h /•** — 0/-r2 — ' V^* — * et
6° Différentier la fonction
. a-^-bx
jr = log 7- •
' ^a — bx
Dans cet exemple, la fonction logarithmique est superposée à la fonction quotient. Nous aurons donc immédiatement, d'après le théorème des fonctions de fonctions et sans passer par aucune variable intermédiaire, ce qui est inutile dès qu'on a pris un peu d'habitude et qu'on s'est exercé à séparer mentalement les fonctions,
, l°£e b(a — bx)-*-b(a-hbx),
a — bx
c'est-à-dire, en simplifiant,
» aaftloge . dr ictbloze
** ~ a*— b*x* ^ et Tîx ~ a*-b*x* '
70 Différentier la fonction
=^vw,-
Dans cet exemple, la fonction logarithmique est superposée à la fonction racine. Nous aurons donc encore immédiatement (577)
./inf ai/— y i-+- x y i-hx
c'est-à-dire, en simplifiant.
— lof/? lo<*<?
dy = —^4dx = -^- dx
et
dr loge
dx ~~ u- — i
4()2 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
On peut opérer autrement, en mettant y sous la forme
y = - log ~~ " = -log(i — x) log(i -4- x).
On a alors
, 1 logtf .. l loge . dy~ — ?L-d(i — x) 2— rf(n-.r)
— logtf ( ! ) (lx%
c'est-à-dire, comme précédemment,
8° »SWf <y différentier la fonction
.T = log log* = logt.r.
Nous aurons toujours, d'après le même principe (565),
log.r x -t'Iogx
et
dr (logg)»
dx .rlog^c
Si Ton donnait à différentier la fonction
j = loglogïog.r = log3.r, on aurait de môme
(fr = J°l£ (lQgg)' dx = (logg)* dx log log. c xïogx .rlog.rlogjX
et
((y __ (logg)8 tLc ~~ .r log.r log j.f
