DEUXIÈME GROUPE : TANGENTE ET COTANGENTK
601. Nous chercherons d'abord directement la différentielle de la fonction
y = tango:.
En donnant à x l'accroissement A07, on fait prendre à y l'accroissement A7, et Ton a
y-Jr A/ = tang(jF 4- A#);
d'où, par soustraction,
A/ = tang(o? h- Ao?) — tango?
et, en divisant par Ao?,
A/ __ tang(o- 4- Ao?) — tango?
(l) 55 ~~ Ao?
Quand Ao? tend vers zéro, le numérateur du second membre
Ay de l'égalité (1) tend aussi vers zéro. La limite de -~- se présente donc sous la forme -•
Pour lever cette indétermination apparente, remarquons que, d'une manière générale (Trigon., 55),
, .. tanga — tangft
tang(a — 6) = f ° •
ox i-h tangatangà
Si l'on pose
a = o: -h Ao?, 6 = o?,
il en résulte
A tang(o? -h Ao?)-— tango?
tang Ao? = ^ — \ x. ° — ,
D i-h tang.(£?-h Ao?) tango:
et l'on en déduit
tang(o; -+- Ao?) — tango? = [1 -+- tang(o? ■+- Ao?) tapgo:] tang Ao:,
De C. — Cours. III. 3a
49^ ALGEBRE SUPÉRIEURE.
c'est-à-dire
5j = [i + tang(* -h bx) tang*] -^-
Si l'on fait tendre A,z vers zéro, le rapport — ^ tend vers
l'unité (Trigon., 104), et Ton a, par conséquent, en passant
à la limite (Trigon., 36)
-r- = i-h tang'a* = séc1^ = — r— dx ° cos* a?
et
La dérivée de la tangente d'un arc est donc égale au carré de cette tangente augmenté de i ou à l'inverse du carré du cosinus de cet arc.
On voit par là que la tangente croît constamment avec L'arc sauf les points où la fonction est discontinue (Trigon., 28). j
602. On peut, plus simplement, recourir à la règle de différentiation d'un quotient; car on a (Trigon., 34)
sina?
y = tanga? =
J COSJ?
Il en résulte (574)
cosxds\nx — sin.a:tf*cosa? (cos*^r H-sin*â?)c£r
' ~~ cos*a? cos*#
ou, comme précédemment,
j __ dx dy i
' ~~~ cossa?' dx ~~ cos*a:
603. On peut aussi employer les considérations géométriques (599). Soit A l'origine des arcs dans le cercle trigonométrique OA, et AM
l'arc x (Jig. 8). Donnons à cet arc l'accroissement MM' = Ax et menons la droite OM'T. L'accroissement correspondant 6y de la fonction
y — tangj? = AT
sera évidemment représenté par TT\ En décrivant Tare TN conceo-
trique à Tare MM', on a (Géom., 231, Trigon., 141) TN OT i
MM' OA cosx
D'autre part, quand on fait tendre Anvers zéro, il en est de même de l'arc TN qui tend à se confondre avec sa corde, et le triangle TNT' s'approche de plus en plus de devenir rectangle en N et semblable au
Fiff. ».
triangle OAT. On a donc, à la limite, TN = TT' cosx et, par suite,
d'après la relation (i),
dy cos.r i
dx
cosar
ou, comme précédemment,
dx C08*.r
60V. On peut suivre une marche analogue (601, 602, 603) pour trouver la dérivée de la cotangente. Mais il est plus simple d'opérer comme nous l'avons fait pour le cosinus.
Ona(7W#o/i., 8)
y = coix = tang f x \ •
Il en résulte
c'est-à-dire (Trigon., 36, 3fc)
dx dy = — (i-t- cot*#) dx = — coséc1.* dx = — —
et
-r- =— (l-hCOtsJ?)= r-=— •
rfx sin'o;
La dérivée de la cotangente d'un arc est donc égaie à moins le carré de cette cotangente augmenté de i ou à moins l'inverse du carré du sinus de cet arc.
On voit par là que la cotangente décroît constamment à mesure que l'arc augmente, sauf les points où la fonction est discontinue (Trigon., 31).
