x „jc i 8i nx tang- cos

rflogtang-^|og dLr sin.

<*log tang (? + ?) = J2S£ «

dLr sin-r* i

dx

. , COSX

sin(

et

rftogtmg(=-hf) !og6

c£r cosx

4° Chercher les différentielles des fonctions y = log arc sinx, y = log arc cos x, y = log arc tangx.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 5ll

On a successivement logaresin* - log<? — ^—- ^ogarcsinx loge

arc sm x

loge

-dx

arc cosx

loge

dx

*x arc sinx./i — x»'

logarceosx = lo«e -"^fË., rflogarccoa* loge

Iogarclangx = -J2£ï *L, ^ogarc tangx = loge

arctangx n-x* <£r arc tangx.(i + x»)

5° Chercher la différentielle de la fonction D'après la différentiation des fonctions exponentielles, on a

lOgC? /i^^i y/i — Xl

et

f/^arc sliur ^aro «In »•

6° Chercher la différentielle de la fonction

y = log [x h-(x« — a1)2] •+- arc séc - .

Nous aurons, d'après les formules connues,

dx

dy = ]^ frf[x + (x>-<0\U Z

Gomme

rf [x -+-(x* — a»)* J = dx -h i (x* — «»)~ï 2x dx

■k-jh

dx

et que

= — 7 — ax

adx

iJ

5l2 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

il vient, en simplifiant,

loge a "I , x\ç\*e-\-a , 1 dx = - 1» dx.

. r loge a "I

Si les logarithmes sont pris dans le système népérien, loge = i, et Pex-

pression devient, en divisant ses deux termes par (x + a)*,

dx = ifi±f f ^ *: = if£±f f.

x\x — aj dx x\^x — a\

7° Chercher la différentielle de la fonction

y — arc tang ■ •

J ° i — ax

On a, en simplifiant,

<v = ; rr = / ^ — t h dx

/ rt + .r\» (î \ i — axj

-ha* __ dx

On voit que cette différentielle est la même que celle de arc tang x (613). Il est facile d'indiquer la raison de cette coïncidence. D'après la formule (Ttigan.,1S&) !

/ 1.x tanga-f-tangfc

tang(a-h6)= = r-^-p

DV ' î — tanga tango

Tare dont la tangente est égale à est la somme des arcs qui ont

pour tangentes a et x, et Ton a

a-\-x jr = arc tang — ■ — = arc tanga -+■ arc tang x.

Si Ton regarde alors, comme nous l'avons fait, a comme une constante, tous les arcs correspondants, en désignant l'un d'eux par A, seront compris dans la formule X it + A, et l'on aura, d'une manière générale,

y = kn -+- A -+- arc tangx, d'où

djr = d arc tang j:.

8° Trouver la différentielle de la fonction composée

tt-f- o r= arc tang - — -,

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 5 t 3

où u et t> sont des fonctions de x. Cet exemple est la généralisation du précédent. On a évidemment

, u -\-v gi — f — uv (i — ui>)(du-ï- dv)~h(u-+- v)(udv-hvdu)

X ~~ rTTTTTTi ~ (, — Wp)«-h(ïTr<>)ï

Ce résultat pouvait être prévu, puisque, d'après ce que nous venons de rappeler (70),

X = arc tang — — — arc tan g u -+■ arc langp. 90 Chercher la différentielle de la fonction

y = arc sina x /i — x*.

On a

, dix i/i — x* 21/1 — x* , dy = , = , = Ar.

v/i — 4*'(i — **) ^1 — 4x«-+-4jt*

Il en résulte, en simplifiant,

. 2(1 — x1) — ix* j a(i — îx1) . idx

dy= , : dx = —— dx =

/i — x* v(ï— ax*)* V1"- *f(i— ix*) v1" x*

Cette différentielle est le double de celle de arc sinx. Voici la raison de ce fait. Désignons arc sinx parjr0. Nous aurons

x = sin/o) v^1 — ** = C08^o> ix \/i — x* = sin a^0.

L'arc y, dont le sinus est représenté par ax sf\ — x*, a donc le môme sinus que Tare a/©, c'est-à-dire qu'il est compris dans l'une des formules

et que sa différentielle est égale à =fc a^r©- C'est ce qu'exprime le résultat trouvé plus haut.

io# Étant donnée la relation

sin x -+- 8in( x •+- h) -+- sin (x -+- a //;-+-. . .-hsin[x -+-(/»—- 1)/*| (m — i)/H

. mh . r sin — sin I a;

sin-

en déduire la somme des cosinus des mêmes arcs.

De C. — Court. III. 33

5 l4 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

Il suffit de différentier par rapport à x les deux membres de l'égalité. En supprimant ensuite dx de part et d'autre, on a

cosx-f- cos(x -h /*)-HCOS(-r-+-a/*)-h...-f-cos[.r-h(m — i)/i] (/n — i)/n

sin

mh r

— cos I a.

sin-

C'est le résultat déjà obtenu ( Trigon., 90).

ii° Chercher la différentielle de la fonction

e*— er~* J = arctang___.

On a

de*—e-* e*+-e-* (e*-+- g-*)(g*-+-g-*)— (g*— e-*)(e*— g~x» .. ,

ou, en effectuant et en remarquant que e*e~x = c«= i,

12° Chercher la différentielle de la fonction

Ja* — />*sin.r

y = arc tang ~

J ° />-4-acosJ7

On a

,/#* — £*sin.r

, ^H-tfCOSX

(a*— ^*)sin1J-

(6-haCOSx)*

/a1 — ft1 cos *•( £ H- # cos.r) -4- a yja* — b* sin1 x ~~ (ù-h «cosx),-i-(aî — ^î;sin*x

ou, en effectuant et en simplifiant,

, ^a*—b*(a -+- à cosx) , da*—b* ,

a)" — ; -7 rr — dx = 7 ctx.

J (a -h 6 cos x)* a-h&cosx

i3° Chercher la différentielle de la fonction

b -\-a cos x

r = arc cos ; •

J a-\-b cos-r

dx

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 5l5

Oa a

,b -*-a cos.r

, a-hb cos.r

dy =

/ /b-+-acoax\t y 1 \a-hb cozx/

. asinx(a-h b cosx) — bsinxfb -+-acosx) ,

dy = ax

(a-t- b cos.r)/(a -h b cosx)* — (b -+-acosx)x

bu, en effectuant et en simplifiant,

dy = (a*—b*)8ïnx ^ = ^a»— 6» ^

(a-hbcosx))/a*—b*s\nx a + bcosx

On remarquera que cette différentielle a la môme expression que la précédente (ia°). Voici la raison de ce fait. Si l'on désigne par y l'un des arcs dont la tangente est égale à

b -\~a cos a:

on a en même temps

cosj

\/i -+- tang* ^ 4 / ! (a* — b*)s\n*x

Y ' (^H-^COSX)1

- a cos x

/(fc-+-acos.r)*4-(a« — 6*)sin*x « -+- * «w* Ainsi l'arc j est aussi l'un des arcs dont le cosinus est égal à

b -+- a cos j: •

a-t- b cos x

Tous ces arcs seront alors compris dans les formules aA:ir-hj et %ktz — y\

et les deux différentielles calculées (22° et i3°) doivent bien être égales et de même signe ou égales et de signes contraires, comme l'indiquent les formules obtenues.

1 4° Chercher la différentielle de la fonction

y = cos x*lnx.

5l6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

En appliquant le théorème des fonctions composées, nous aurons

loc cosx djr = cos.z*,llx — | cosxdx-^-sinx cosx^ajp-l(—iânxdj:).

j .i« ^ T l°g c°8«r sin*xT ,

dy = cosx*,nx — ? cosx \dx.

J L *°%e cosxj

On peut vérifier ce résultat à l'aide de l'expression générale de la différentielle fojr = u? (595).

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 5l 7