DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS IMPLICITES

Cas d'une seule fonction.

622. Nous avons vu qu'on appelait fonctions implicites celles qui sont liées aux variables dont elles dépendent par des équations non résolues ou par des conditions non exprimées analytiquement

Nous ne considérerons que celles qui sont définies par des •équations non résolues.

623. Le cas le plus simple est celui où la fonction implicite y est définie par une seule équation entre cette fonction et la variable x.

Soit cette équation

v, quoique inconnue, étant une fonction déterminée de x, on peut regarder f(x, y) comme une fonction composée de 47 (567). Cette fonction, par hypothèse, est constamment nulle; elle est donc constante, et sa différentielle est égale à zéro (54-9). Or, d'après le théorème des fonctions composées (567), cette différentielle a pour expression

On a donc

fdx+fdy.

dx dy J

df . df , -±dx + +dy = o,

Ton en déduit dy — -

df

— dx et d-L-df dX et dx -

dy

EL dx

dy

5l8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Ainsi, la dérivée d'une fonction y, liée à la variable x par V équation f(x,y)=zo, est égale au quotient, changé de signe, de la dérivée partielle du premier membre de l'équation relativement à x par la dérivée partielle de ce premier membre relativement à y.

Remarquons que ces dérivées partielles sont, en général, exprimées à la fois en fonction de x et de y, et qu'elles ne peuvent l'être en fonction de x seulement, que si Ton peut résoudre l'équation f(x,y) = o par rapport à y. Mais, lors même que cette résolution est impossible, le résultat obtenu n'en est pas moins d'une très grande utilité, comme on le verra surtout en Géométrie analytique (t. V).

62k. Soit, par exemple,

(qui est l'équation d'une ellipse rapportée à ses deux axes a a et a b).

Nous aurons

df 2x df iy

dx à1 dy b-

et, par suite,

dy a* b*x

dx 2 y a} y

L'équation donnée étant résoluble par rapport à y, on peut facilement vérifier ce résultat. On déduit, en effet, de cette équation

y ~ -s/az— x* a v

et, par conséquent,

dy b 2x

dx~~ a 2 y£«~Z~

625. Voici un second exemple s'appliquant à une fonction transcendante.

Nous avons trouvé ( Trigon., 72) l'équation suivante, pour

déterminer cos ~- en fonction de cosa?,

4 cos8 -« — 3 cos 5- — cosa? = o.

Posons y = cos -? • L'équation deviendra

f(x>?) = 4j8— 3j — cosa? = o.

On a ici

4f df t o

Par suite,

^K sin a?

*te 1 a/* — 3

oc Il est facile de vérifier ce résultat, puisque Ton a;' = cos -~ •

On en déduit

dy 1 . x

et il reste à démontrer l'identité