CHAPITRE X
DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DIFFÉRENCES DES DIVERS ORDRES DES FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE.
Des différentielles des divers ordres des fonctions explicites.
638. Nous avons vu précédemment (532) que, si/(#) est une fonction de la variable x, sa dérivée f'(x) est aussi, en généra], une fonction de x admettant à son tour une dérivée désignée par /"(a:) et appelée la dérivée seconde de /(x). De même, /'"(#) est la dérivée def'(x) ou la troisième dérivée éef(x), et ainsi de suite.
En poursuivant, on obtient une série de fonctions représentées par
ou par
et dont le nombre est illimité, à moins que /(a?) ne soit une fonction entière et rationnelle.
La fonction f(n)(x) ou Dnf(x) est dite la dérivée du niime ordre ou, plus simplement, la nième dérivée def(x).
A ces dérivées successives correspondent, comme nous allons l'expliquer, les différentielles successives de la fonction 7 =/(*)•
639. Nous avons défini la différentielle de la fonction (0 . 7=/(*)
par la formule (54-9) (2) dy=.f\x)dx.
Dans cette formule, dx désigne l'accroissement arbitraire
532 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
donné à la variable indépendante x. Jusqu'à présent, nous n'avons fait aucune hypothèse sur la valeur de cet accroissement. Nous allons maintenant le regarder comme constant, c'est-à-dirè comme indépendant des valeurs attribuées à xei de la série des opérations effectuées.
Si Ton différentie l'équation (2) dans celte hypothèse, il vient
ddy=zdxdf,{x)—dx[ff,(x)dx]=fff(x)dx*9
en indiquant le carré de dx par la notation dx*.
Le premier membre ddy de la relation «obtenue est la différentielle deuxième de y ou la différentielle du deuxième ordre de la fonction. On la représente par la notation d*y,
de sorte qu'on a
d*y=f'(x)dx*.
En différentiant encore les deux membres de celle nouvelle égalilé, on a
. dd*y — dx2df"(x) = dx*[fm(x)dx]~f*(x)dx*
ou
,% d>y=fm(x)dx*.
En poursuivant, on obtiendra une suite de différentielles
dy, d'y, d'y, ..., d*y, ...,
dont chacune est la différentielle de la précédente. La différentielle dn y est la différentielle du nième ordre ou, simplement, la nitme différentielle de y ou def(x), et l'on a, d'une manière générale,
(3) dny—fW(x)dxn et ^£ =/*>(*).
La nième dérivée def(x) est donc égale à sa niime différentielle divisée par la niime puissance de la différentielle constante de la variable indépendante.
On peut, par suite, mettre encore la relation (3) sous la forme
Si l'on prend dx comme infiniment petit principal ou comme infiniment petit du premier ordre (515, 516), on voit que d\v est, en général, un infiniment petit du nUme ordre.
Celle correspondance entre dn y et dxn dans le premier membre de la formule (3) est nécessaire. Si ces deux infiniment petits étaient d'ordres différents, f{n){x) serait constamment nulle ou infinie (520) et ne serait plus une fonction de x.
Le rapprochement indiqué précédemment entre la dérivée et la différentielle d'une fonction (547) se poursuit quand on considère les dérivées et Les différentielles des divers ordres.
640. 11 n'est pas inutile de remarquer que les résultats seraient tout autres, si l'on ne regardait plus dx comme une constante, mais comme une variable ayant ses différentielles successives dx, d*x, d*x,
Pour le montrer, reprenons la formule
dy — f\x)dx.
La différentiation des doux membres, dans l'hypothèse où dx varie, donne
d*/ z= d[f (x)dx]=:f (x)dx* +f {x)d*x.
En effet, on a à différentier dans le second membre un produit de deux facteurs variables. La différentielle du premier facteur /'(x) est fff(x)dx,. qu'il faut multiplier par l'autre facteur dx, et la différentielle du second facteur dx esld*x qu'il faut multiplier par l'autre facteur/'(a?).
Nous n'insisterons pas sur ce point ni sur les nouvelles formules qui représentent alors les différentielles successives de r.
EXEMPLES
641. Nous allons donner quelques exemples de différentielles ou de dérivées des divers ordres.
i° Soit la fonction
y = xm.
On a
dx
et, en généra],
Si #2 681 entier, on parvient à
dmr
Cette m*** dérivée est une constante, et les dérivées suivantes sont toutes nulles.
a° Soit la fonction
On a, en prenant les logarithmes dans le système népérien,
et, en général,
Si l'on suppose a = e, /a = /*? = 1, et l'on a
<ïr ~~ 5? *~ dx* ~~ ilxn ~~
3° Soit la fonction
y = logx.
On a
dr lo?r '
^ =-,.x-Moge?, ^ =i.a.x-»logc,
-~ = ( — i)«-».i.a.3-..(/z — i)x-*log*.
4° »S!w/ la fonction
y = sinx.
On a
dr d*y dzr d*j
-;- = C08.r, 3 '- = — Sinx, -j-V = — COS.r, -r^r = Sinx.
Les dérivées de sin.r reprennent donc périodiquement et indéfiniment les quatre valeurs
cos.r, — sinx, — cosx, sinx.
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 535
On trouverait, de même, que les dérivées de cosx reprennent périodiquement et indéâniment los quatre valeurs
— sin.r, - - cosj:, sin.r, cos-r.
5e Soit la fonction
y -- sin(.r -\-a),
où a est une constante.
On *(T*gon., 32)
dr . . /ir \ . / k \ -^- .— cos(a: -;- a ) — - sin ( — ; x -. - a \ — sin I x ~t hû).
La dérivée de y s'obtient donc, dans ce cas, en ajoutant le quadrant a la constante a. Il en résulte évidemment, d'une manière générale,
dns\n(x -T-a) Pour a = o, on a donc
- sin ( x h- n y -+- a \ .
rf* sin.r . I n\
j=-r8injr et __- = gin^x-+-/i- j;
et, pour « = - ? on a
dacoxx
= sin ( x -t- n - -h - \ = cos ( x -h « ^ \ •
— cos.r et
Nous terminerons ces exemples par la recherche de la formule remarquable qui fait connaître la nièm* dérivée d'un produit.
Expression de la «l,,,mc dérivée d'un produit.
6fc2. Considérons le produit uv des deux fonctions u et e. Nous aurons d'abord (570)
d( uv ) — v du -h u dv ; puis (568)
d*(uv)=id(vdu) -hd(udç)
— {vd*u-hdvdu) -h(dvdu-h ucPv)
d*(uv) =r i>d*u-\- idvdu-±- u&w
De même, en différentiant de nouveau, on Irouve
d*(uv) — d(y «[*«) + d(i dv du) -h d(udiv)
— (vd^u-^-dvd^u)
-h ( 2 dv d i u -h 2 dl v du ) -h (d* v du -h u d* v } ou
dz(uv) — vd*u -h $dv&u-\- Zd-vdu -t- ud*i\
On voit que, dans ces formules, Tordre des différentielles de u diminue d'une unité, tandis que celui des différentielles de v augmente d'une unité, lorsqu'on passe d'un terme au suivant, de sorte que la somme de ces deux ordres demeure constante et égale à Tordre de la différentielle du produit **<\ De plus, les coefficients numériques des différents termes reproduisent ceux du développement du binôme pour un exposant égal à Tordre de cette différentielle.
L'analogie conduit donc à penser que Ton a, d'une manière générale,
d'»(uv) = vdmu-i-- tfr d'"-1 u -+- -(/"~"!) d*v dm~* a -h . . .
H — ~ -dns>dm~*u-{-...-h udmv.
Ce résultat ayant été vérifié pour m = i, 2, 3, il suffit, pour prouver sa généralité, d'établir, suivant Tusage, que, s'il est vrai pour Tordre m, il subsiste encore pour Tordre m -±- 1. C'est ce dont on s'assure immédiatement en différentiant la formule ci-dessus, où les termes du second membre représentent tous un produit de deux facteurs variables.
643. La formule remarquable ainsi vérifiée peut s'écrire symboliquement
dm(uv) = (du-h dv)m,
à la seule condition d'ajouter en facteur, dans le premier terme du développement de (du -+- dv)m, (dv)* et, dans le dernier terme de ce développement, (du)0; puis, de remplacer respectivement les puissances
(du)a et (dv)n
par les différentielles
dnu et. d"v
et, dans les termes extrêmes, (dv)* et (du)0 par e et u.
644. On peut aussi représenter symboliquement la différentielle d'ordre m d'un produit de p facteurs //, v, «% . . ., par la formule
dm ( uvw. . . ) — (du -+- dv ~h d\v -\- . . . )/w,
à la condition d'ajouter en facteurs, dans les termes du développement du second membre, la puissance zéro des différentielles du, dv, dw, . . ., qui n'y entrent pas; puis de remplacer ensuite respectivement les puissances
(dur, w, {<**)*, ...
par les différentielles correspondantes
dnu, dnv, daw, ...,
celles-ci devant être remplacées à leur tour par u9 r, w, . . ., dans le cas de n — o.
Il suffit, pour comprendre cette extension, de se reporter au développement de la puissance mième d'un polynôme (303, 305).
Des différences des divers ordres.
645. Il est très utile de rapprocher les différentielles et les différences successives (545) d'une même fonction.
La différence A/ de la fonction y=f( x) étant elle-même une fonction de x a aussi une différence A ày qui en admet une AAAv à son tour; et ainsi de suite indéfiniment.
En supposant qu'on donne toujours à x le même accroissement ou l'accroissement constant Ax, les différences des divers ordres seront désignées par les notations
(Les puissances de Aj seront représentées par A/, Ar1, Aj>, ..., Aj* )
646. Il s'agit de démontrer que la dérivée d'ordre n de la fonction y=zf(x) est la limite du rapport de Any à &xn> c'est-à-dire de la différence nième de cette fonction à la puissance n<ime de la différence* ou de l'accroissement de la variable.
Il est entendu que la fonction donnée et les dérivées successives qu'on en doit prendre restent continues dans l'intervalle qu'on a à considérer.
Cela posé, on a (54.5)
« = ©(x, Aa:) étant une fonction de x et de Ax qui s'annule pour àx — o, quelle que soit la valeur de x choisie dans l'intervalle proposé.
Si Ton prend les accroissements ou les différences des deux membres de la relation (i) pour un nouvel accroissement lx donné à xy et si on les divise ensuite par A~r, il est clair que le premier membre deviendra
A»r lx*'
Le premier terme du second membre deviendra
(3 étant encore une quantité qui tend vers zéro et s'annule avec Ax.
Quant au second terme a du second membre, il deviendra
j^=?'(jrf A*)-4-yf
en désignant par y une troisième quantité qui s'annule avec Aj% quelle que soit la valeur donnée à x dans l'intervalle. On a, par suite,
*£ =/'(*) + 0 -h ?'(x, Ax) + y.
Mais la fonction y(x9Ax) s'annule pour Ax=o quelle que soit a?; il en est donc de même de sa dérivée <p'(x» Ax) [637], et l'on peut écrire
i, étant une quantité qui s'annule avec Ax.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 53g
En prenant les accroissements ou les différences des deux membres de cette nouvelle égalité pour un nouvel accroissement Aa? donné à a? et en les divisant ensuite par Aj?, le même raisonnement conduit à
dt étant une quantité qui s'évanouit avec Ix.
La loi est évidente, et l'on peut poser d'une manière générale
celte dernière quantité s'évanouissant avec Ix. En passant aux limites, on a
(3) tofë =/'"'(*)= g [639],
ce qu'on voulait démontrer.
