On voit qu'on peut mettre la relation (a) sous la forme
D'ailleurs, on peut faire tendre Aj? vers zéro en prenant àjc=zdœ (548). Il vient, dans cette hypothèse,
A*^ = d*y 4- Sn.-t dxny d'où
dny (i\v '
dxn
dnv Si la /i1*™6 dérivée -r-~ reste finie, on a alors
dxn 9
.. Anr
c'est-à-dire (530) que la différentielle d'ordre n d'une fonction de x peut remplacer la différence de même ordre de
celle fonction, dans la recherche des limites de sommes ou de rapports, en négligeant une quantité infiniment petite relativement à cette différence. C'est la généralisation de ce que nous avons dit au n° 5V7.
Des différentielles des divers ordres des fonctions implicites.
648. Soit une fonclion y de la variable x définie par l'équation
En égalant à zéro la dérivée du premier membre de celle équation, nous avons trouvé (623)
/ v df df dy
dx dy dx
dy Celte équation (2) donne ~ en fonction de x et de r, ou
en fonction de x seulement si Ton peut éliminer/ entre les équations (1) et (2), et Ton en déduit ensuite dy\
En combinant convenablement les équations (1) et (2) ou en conservant cette dernière telle qu'elle est, on a une équation de la forme
Son premier membre étant constamment nul, la différentielle de ce premier membre est constamment nulle (5W), et Ton a
dx dy " -dy dx
dx
c'est-à-dire, en divisant par dx,
/0. d. do dy do dly
dx dy dx .dy dx1 dx
d1y Cette équation (3) fait connaître -7-^ en fonclion de x, de/
dy et de -~-> ou en fonction de .r seulement si l'on peut éliT
dy miner y et -j- entre les équations (a)» (2 6w) et (3); et Ton
en déduit ensuite d*y.
<P y d%y On pourra trouver de même -^> -t-^> • ••• Mais nous n'insisterons p.as davantage sur cette méthode, parce que nous en indiquerons plus loin une autre plus rapide, qui s'appliquera également au cas où l'on a à considérer plusieurs fonctions implicites. Un exemple, cependant, ne sera pas inutile pour bien éclaircir ce qui précède.
649. On demande de trouver la deuxième différentielle de la fonction implicite définie par l'équation
(i) /» — 3xj +jc*=o.
L'équation (2) du n° 648 est alors, en divisant ses deux membres par 3,
et l'on en déduit
dr y — x%
dx ~~ y* — x L'équation (2) est do la forme
(a bis) *(*'•>■' 2ï) = °'
L'équation (3) du n° 618 est donc ici
OU
dr /dry f , d*r
<3> "-aE + v(s) +CT*— r)aJ5=of
et elle va nous permettre do déterminer y*£ • En remplaçant -^ par valeur, en effectuant les calculs et en simplifiant, elle devient
Mais l'équation (i) exigeant que le trinôme y1 — 5xy-\- x» soit constamment nul, l'équation (3 bis) se réduit à
ixy , . Kd*y
et l'on en tire
d2l - a-y «1 </«> - - — i^— rfr*
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 543
