Soit

la fonction des deux variables indépendantes x et y. Nous désignerons, d'une manière générale, par

STyXT.:ru ou par D;+^;-ii

le résultat de m 4-/1 + /) -h. . ., dérivations partielles effectuées sur la fonction ci, les m premières se rapportant à x, les n suivantes se rapportant à 7, les/? suivantes ayant lieu de nouveau relativement k x, ....

I* différentielle et la différence partielles de même ordre

seront représentées par les notations

Pour simplifier, on prend les accroissements &x, Aj, dx, dy constants ou respectivement indépendants des variables x et y.

Cela posé, nous aurons d'abord (639), puisqu'il ne s'agit que de la variable x,

d'ï " ^fx " dxm = D™ u dxm.

De même, en regardant/ comme seule variable et en prenant la différentielle d'ordre n des deux membres, il viendra

d™+yH u =f™+yn u dxm dyn = D£7 u dxm dyn .

Enfin, si l'on regarde de nouveau x comme seule variable et si l'on prend la différentielle d'ordre p des deux membres de la relation précédente, on trouvera

<*Ty"xp u —fSïïx9 u d*"1 dya d*9 - l>l\y,xpu dx'n dy» dxP;

et ainsi de suite.

On déduit de là, d'une manière générale,

~dx>»dy»àxi>—Jx^jr— u ~u**y>*>- "'

Les dérivées partielles des fonctions de plusieurs variables s'expriment donc, au moyen des différentielles partielles correspondantes, d'une manière analogue à celle adoptée pour les fonctions d'une seule variable.

Enfin, d'après ce qui précède, on a, en regardant x comme seule variable (6WÏ),

-£Pï —fxtt-r<*U

o)i s'annulant avec &x.

Si l'on prend maintenant la différence nième des deux membres de cette égalité par rapport à y, le premier membre deviendra évidemment

Axm Ayn Quant au second membre, il deviendra la nièmè dérivée

partielle du second membre précédent par rapport à y, augmentée d'une quantité &>, s'annuiant avec A/. D'ailleurs, puisque &>! s'annule avec Aa?, sa niim* dérivée par rapport à y s'annule aussi en même temps que Aa? (637). On a donc, en désignant la somme de cette dérivée et de <*>, par £,

\m+nu

tixm A/"

C étant une quantité qui s'annule quand tix et A/ s'évanouissent ensemble.

En prenant la différence d'ordre p des deux membres de la dernière égalité par rapport à x et en continuant le même raisonnement, on obtient, d'une manière générale, comme pour les fonctions d'une seule variable,

Axm Ayn &xp . . . —/*.**.... U ' A>

X devenant nul quand Ax et ày s'évanouissent ensemble.

En passant aux limites, on en conclut, comme pour tes fonctions d'une seule variable,

nmA^A/"A^... -■/*•*.*.•• K— dafdy'dx*...'

652. Théorème fondamental. — L'ordre dans lequel on effectue les différentielles partielles successives, pourvu que le nombre de celles qui sont relatives à une même variable ne change pas, est indifférent.

Soit toujours la fonction

Faisons d'abord varier x seulement en le remplaçant par x -+- &x. La fonction u deviendra

u-\-Axu.

Dans ce résultat, faisons maintenant varier / seulement en le remplaçant par y-\- A/. Nous aurons, comme nouveau résultat,

u + Aa?w + Arw-f- AjAjçU,

c'est-à-dire

«-+• Axu 4-AyW -h àXt}u.

De C. — Co«n. III. 35

Effectuons les opérations en ordre inverse. En faisant varier y seulement, nous aurons

puis, en faisant varier x seulement dans ce résultat,

u -+- &yU-t-&xu -h A* Ayw,

c'est-à-dire

a4-Ay« + A^tt + A£%JC u.

Les deux résultats définitifs doivent être identiques, puisque tous deux représentent ce que devient la fonction u lorsqH'on y change à la fois x et y en x -h Aa? et y -+- A7. D en résulte, identiquement,

(0 àltyu=A^xu.

Si Ton divise les deux membres de l'identité (1) par le produit A# A/ ou A/ Aa?, [et si Ton passe aux limites en faisant tendre àx et A/ vers zéro, on a évidemment, d'après ce qui précède (651),

fl.yu=fy,x* OU Difya = D£iXii;

et, par conséquent, on a aussi

,xy, = / * ou d* Yu — d*u.

dxdy dydx x%y *tX

Nous n'avons considéré que deux variables et deux opérations; mais le théorème est complètement général; car, de ce qu'on vient d'établir, il résulte qu'on peut toujours, sans rien changer au résultat final, intervertir V ordre de deux diffèrentiations successives. Par conséquent, si l'on a un nombre quelconque de variables et d'opérations, il sera toujours possible, en agissant de proche en proche, d'amener telle différentiation qu'on voudra à tel rang désigné, c'est-à-dire d'intervertir à volonté V ordre des différenciations successives.

653. Ce théorème fondamental permet de simplifier les notations indiquées précédemment, en n'ayant qu'une seule indication pour chaque variable.

Supposons, par exemple, qu'on ait dérivé successivement la fonction

de manière à obtenir une dérivée partielle du cinquième ordre, telle que

»*-*-**'*" dxdzdydxdz

Nous supposerons que Ton ait effectué successivement toutes les opérations qui se rapportent à la même variable, ce qui ne modifie pas le résultat, et nous écrirons

m __ dï\y,**u

11 est clair que l'expression de cette dérivée partielle peut être encore simplifiée et mise sous la forme

d*u dx1 dy dz*

parce que les exposants de dx, de dy et de dz au dénominateur suffisent pour indiquer le nombre des dérivations relatives à chaque variable.

Mais si, pour avoir la différentielle partielle correspondante, on multipliait la dérivée précédente par dx*dydz* en supprimant le dénominateur, il resterait d* u, expression qui ne renfermerait plus aucune trace des différentiations effectuées successivement. Il faut donc, dans ce cas, conserver le dénominateur et représenter cette différentielle partielle par l'expression

La notation (651)

dx\y, s» «

est alors beaucoup plus simple.

EXEMPLES