i° Ètatit donnée la fonction
u — xmya,
trouver
dit du d*u dx dy dxdy
On a immédiatement
du », * » du - - 4
— = mxm-iyn, -j- = nxmyn~i,
d*u ' dtu dïu
<*rrfr ~ y ' <(r<*r ^ - dxdj
2° Étant donnée la fonction
u = arctang-,
trouver
du du dïu
dx dy dxdy
On a immédiatement, en appliquant d'abord le théorème des fonctions do fonctions (564),
du __ x* — y du x
dx ~ y* ~ x*-hy*' dy ~ r1
d>u __ — (x*-+-y*)-\-iy* y* — x* dxdy ~~ (x*-+-y*)* ~~~ (x*+y*)*9
d*u (x1 -+- y* ) — ix* y1 — x* dydx ~ (ar*H-^a)« "" (,r*-+-t>*)* "
dxd)
i° Étant donnée la fonction
xxy a* — z* uver
du du du d*u dïu d*u 3x9 dy9 dz9 dxdy7 dxdz* dydz9
dïu dxdydz
On a immédiatement
du __ ixy du ^ x* du ^ ix*yz
dx~a* — z*' dy "" «* — z*' dz " (a*— s*)*'
dxdy ~~ a* — z*' dydx ~ d*^z* ~~ dxdy'
d*u 4«Çrg ***<* __ 4^'« ___ rff«
tf*a __ a.r*s dxu __ ix*z __ rf*a
dydz ~" (û« — 2*)»' 3?3r ~~ (**— s«)* " 2F<E'
cfitf jxz d*u
dxdydz ~~ (a1— z*)1 "" dydzdx ■*••••
Étant donnée la fonction
trouver
dxdydz On a immédiatement
du
d>u dxdy
= ze*y*-hxyz*e*rz,
-= exyz +. XjZ exyz .+ 2 xyz e*rz -+- x*y* z* e*y*
dxdydz
= e*y*(\ -f- Zxyz-v- x*y*z*).
5° appliquer le théorème des fonctions homogènes à la fonction
u =' (x -hy -h z)*— (x -{-y — z)* — (x —y -+- 2)'— (y H- z — x)*.
Ce théorème consiste ici (580) dans l'identité
. x du du du n
Remarquons que la fonction u ne change pas quand on y permute x et y ou quand on y permute y et z sans toucher aux signes. En effet, on a, dans le premier cas,
« = (X -+■ * -*- *)' — Cr -H * — s)3— (7 — x -h s)s — (x -H z — y)*\ et. dans le second,
*i*i*> , du , du
U en résulte qu on pourra passer de -7- a -7- en permutant x et y et,
de -T- à -y- > en permutant y et z. Il suffit donc de calculer -.- • Or on a évidemment
■£■ = 3(x-hx-h3)*— 3(x-hj— s)* — 3(x — j+2)i-t-3(j-+-z— x)*,
c'est-à-dire
— x* — y*—z% — 2XT-4- %xz -h ars f
/ = a4 rz.
— X* — y* — S*-H2XJ — 2X2-4-2JZ *
-t-X*-*-^*-»-*1 — 2X/ — 2XS-*-a/S
55o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Par suite,
du du
-j- = 24x3 et ^ = 24-rr.
En substituant, dans l'équation (i), il vient donc
On doit, par conséquent, obtenir, toute réduction faite,
u r: 24x73, et c'est ce qu'il est facile de vérifier. 6° Étant donnée la fonction
u = /rï+y1, démontrer que l'expression
md*u d*u mdtu
est égale à zéro.
On a successivement
au
^Xx-\~y*
du
dr
y/x^M-jr1
dx* "" -c1-*- r* ~~~ , # ±'
j^-Herf
^x*-hy* — xy __ d*u
dxdy j"+ r* , ± <frdx
En substituant ces valeurs dans l'expression indiquée, on trouve bien x*y* — ix*y*-\- x*y% (x*+y*)*
Différentielle totale d'une fonction de plusieurs variables indépendantes.
