Soit la fonction
des deux variables indépendantes x et y\ u est continue dans un intervalle donné, lorsque, les valeurs de l'une des varia-
bles étant fixées, u est une fonction continue de l'autre variable.
Nous avons démontré précédemment (566) la relation suivante
, v a du A du .
dans laquelle &> est une quantité infiniment petite par rapport à àx, Àj, Aw, quand Aa? et A/ tendent ensemble vers zéro.
La somme des deux premiers termes du second membre de la relation (i) est donc égale à la différence totale Au, sauf une quantité infiniment petite par rapport à cette différence.
On a été conduit, par analogie, à donner le nom de différentielle totale de u à l'expression
où dx et dy sont des quantités indéterminées et indépendantes qu'on appelle les différentielles de x et de y.
Lorsqu'on regarde ces différentielles comme les accroissements infiniment petits donnés h x et h y, l'expression proposée peut être considérée comme l'accroissement total correspondant du de la fonction u, sauf une quantité infiniment petite par rapport à du, et l'on a
/ x i du . du ,
(3) du = Txdx+dydy-
Dans la formule (a), il faut avoir soin de ne pas confondre les du du second membre avec le du du premier* Pour cela, il suffit de ne pas supprimer les facteurs communs dx et dy.
On pourrait aussi, pour éviter toute ambiguïté, adopter la notation très simple
du — J-dx-\-4- dy
dx dy K
ou encore
du —dzu-\-dy u,
puisque -r- dx et -r- dy représentent les différentielles partielles de u par rapport aux variables x et y> comme -7- et
du
-r- représentent ses dérivées partielles.
Quoi qu'il en soit, ces considérations pouvant s'appliquera une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes, comme la relation (i) elle-même, on peut dire, d'une manière générale, que la différentielle totale dune fonction de plusieurs variables indépendantes est toujours égale à la somme des différentielles partielles de la fonction, prises par rapport à chaque variable.
Si Ton a
on a aussi
, du . du , du , du .
du = — dx -h -r- dy -H -7- dz -+- . . .4- -r- dt. dx dy J dz dt
656. Comme pour les fonctions d'une seule variable, si une fonction de plusieurs variables indépendantes est constante dans un intervalle donné, sa différentielle totale est constamment nulle dans cet intervalle; et réciproquement.
En effet, si u se réduit à une constante, les dérivées partielles t-> -r > ~r > * "* -n> s°nt toutes nulles, et il en résulte dx dy dz dt
rftf = 0.
Réciproquement, si l'on a du=o dans un certain intervalle, on a aussi, dans cet intervalle,
du . du , du . du .
-5- dx -h -y- dy -h t- dz -+- . . . -4- — dt = o. dx dy J dz dt
Puisque dx} dy, dz, . . ., dt, sont des quantités indéterminées, on a alors, séparément,
du du du du
Ces conditions montrent, successivement, que u est indépendant de x, y, z, . . ., t9 ou de toutes les variables. On a donc nécessairement u = const.
657. Comme pour les fonctions d'une seule variable, si. pour les valeurs des variables indépendantes x, y, z, ...,/, comprises respectivement entre certaines limites, deux fonctions u et v ne diffèrent que par une constante, leurs différentielles totales sont égales entre ces mêmes limites; et, réciproquement, si les deux fonctions remplissent cette dernière condition, elles ne peuvent différer que par une constante.
En effet, si Ton a
u — ^=zconst.f
il en résulte (656)
d(u — c)z:o, du — dv — o, du = dv.
Et, réciproquement, si Ton a
du — dv9 il en résulte
du — dv -- o, d(u — v ) = o, u — v~ const .
Différentielles totales des divers ordres d'une fonction de plusieurs variables indépendantes.
658. Il nous reste à considérer les différentielles totales des divers ordres de la fonction u.
Si du est la différentielle totale de u9 nous désignerons par dïu la différentielle totale ddu de du, par d*u la différentielle totale dd}u de d%uy etc. Dans la suite
u, du, d1uy cPu, ..., dn u, ...,
chaque terme exprime ainsi, à partir du second, la différentielle totale du terme précédent.
Ces différentielles sont les différentielles totales du premier ordre, du deuxième ordre, . . . , du nième ordre, . . . , de la fonction u.
Cela posé, considérons cette fois trois variables, et prenons
Nous aurons d'abord (655)
, du , du , du , dur=. — dx h — j- dy H — r dz.
djc dy J dz
Cherchons la différentielle totale d* u. Elle sera égale à la somme des différentielles totales de chacun des termes du second membre. Il viendra donc, par exemple, pour le premier terme de ce second membre,
jdu , jdu , .du .
, d-.-dx d — dx d-f-dx
.du , dx . dx , dx .
d — dx = — -, dx H -, dy H -. dz,
dx dx dy J dz
554 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
c'est-à-dire
d-j-dx — -t— - dxx -h - — r- dxdy -4- —. — =- dxdz. dx dx1 dxdy J dxdz
En faisant de même pour les autres lermcs et en se rappelant le théorème général relatif à Tordre des différentiations (652), ainsi que la constance des différentielles dx, dy, dz (651), on trouvera évidemment
dïu~ -=—- dx1 -h -. — =- dxdy -f- —, — r- dxdz
dx1 dxdy % dxdz
d*u j j dlu . . d*u , .
-h j — -z-dxdz -h . . dydz -f- -7-, dz* dxdz dydz J dz1
ou
-+- 2 -, — j- dx dy -h 2 -7 — -y dxdz^r 2 -= — =- dy dz. dxdy ^ dxdz dydz ^
On voit qu'on obtiendra d*u en multipliante par du ou en élevant du au carré, à la condition de remplacer partout dans le développement (du)2 par d*um On a ainsi la formule symbolique
^u = (^dœ+^dy^^zdzy^(dxu^dyu^dzuy.
Cette même loi se poursuivra pour la formation de d*u, etc. On peut donc écrire finalement la formule générale symbolique
dmu= l-r-dx-\- -r-dy -\- — dz\ =(dxu-+-dyu -\-d.u)m,
où Ton devra toujours remplacer dans le développement du second membre (du)m par dmu, en laissant invariables les puissances de dx, dy, dz, ou celles des indices x, y, z.
On prouvera la généralité de la formule, en montrant que, si elle est vraie pour l'ordre m, elle l'est encore pour Tordre m-\-i.
659. Comparons la différentielle totale dmuh la différence totale Amu.
Reprenons la formule connue (655, 566), en la supposant appliquée au cas de trois variables
/ v a du a du a du A
Nous savons que co est infiniment petit par rapport à Ax, Ay, Az, Au, quand Ax, Ay et As tendent vers zéro.
Pour calculer A*u, il faut calculer l'accroissement du second membre quand on donne à x> à y et à -s, les mêmes accroissements Ax, Ay, Az, que précédemment.
Rappelons que co se compose de trois parties : une première partie qui, divisée par Ax, s'annule encore pour A.r = o, ainsi que ses dérivées (637); une deuxième partie qui, divisée par Ay, comprend des termes s'annulant, les uns pour Ax- o, les autres pour A/ = o, et dont les dérivées, par conséquent, s'annulent toutes pour Ax = o et Ay = o ; une troisième partie qui, divisée par Az, comprend des termes s'annulant, les uns pour Ax =. o, les autres pour Ay — o, les derniers pour As = o, et dont les dérivées, par conséquent, s'annulent toutes pour Aa? = o, A/ = oet As = o. L'accroissement de w sera donc (520) infiniment petit relativement à Ax%> AxAy, Ayt,AxAz9 A/ As, As*.
D'autre part, d'après la formule (i), on a
Kdu . d* " A * d*u . A <Pu .
Ad£A*=^A* + a£#A*Ar-»-SSA*A« -*-*,„
A du . (Pu A . d%u . . (Pu . A
. du A (Pu A . (Pu . . d*u A .
A5JAa = 3^Aa:A5 +5^A^As + 5?Aa +w"
w,, o),, co, étant des quantités infiniment petites par rapport aux carrés et aux produits deux à deux des accroissements Ax, Ay, Az, comme l'accroissement de o> lui-même.
On peut donc, en désignant par Ct ce dernier accroissement, augmenté de a)t-f- w,-h wa, et en réunissant les résultats précédents, écrire symboliquement
^ étant infiniment petit relativement aux carrés et aux produits deux à deux des accroissements.
En continuant de la même manière, on parviendra à la formule générale
a- (du A du A du A \m -
étant entendu que, dans le développement du second membre, les puissances de du seules seront remplacées par les différentielles de même ordre, et que Cm.t est une quantité infiniment petite par rapport au produit de m facteurs Ax, Aj ou Az.
Comme on peut faire tendre Ax, Aj, As vers zéro, en posant Ax = dx, Ay = dy, Az — dz, la différentielle totale d'ordre m d'une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes ne diffère de la différence correspondante de même ordre, que d'une quantité infiniment petite par rapport à cette différence elle-même.
La substitution dedmu à Amu sera donc permise, toutes les fois qu'il s'agira de la recherche d'une limite de somme ou de rapport (530).
EXEMPLES
660. i° Chercher la différentielle totale du premier ordre de la fonction
On a
u=r l tang - •
, du , du .
du— -y- dx H — =- dy.
dx dy ^
du i i i __ 2
dx ^ x m x y . 2X
tang-cos1- rsm —
du __ i i / x\__ — *x
dy ~ x ,j;\ r*/ ~ â . ax
' tang - cos1 - x ' ' rf sin —
Par suite,
rfw== ijydx — xdjr)
r*sin —
ÀLGÈBEE SUPÉRIEURE. 557
a° Chercher la différentielle totale du deuxième ordre de la fonction
u = xmjn.
On a d'abord
du du
• — = mxm-ijrnj -y- = « xmyn-%i
c'est-à-dire
du = m xm~lj-n dx-^-n xmyn~l djr.
On a ensuite
j. t<Lu j du - \* d*u j d*u , , <**« , .
D'ailleurs,
Par suite, rf*« = .rOT-îj»-*[m(/îi — i)y*dx1-+-zmnxydxdjr -t-/i(« — ijor'rfr2].
3° Chercher la différentielle totale du troisième ordre de la fonction
u = xt-+-y*+-zt.
On a d'abord
du du du
Il en résulte
du = ixdx -4- a^«?r ■+- izdz.
On a ensuite
d*u __ dxu __ ***"__ rf*« rf*« __ rf*«
s»~~a' ^""2> s»*-2' dxdy-*' 5*^"-°' ^s~0.
Par suite,
<fcr, $% <2z étant des constantes, d*u et toutes les autres différentielles totales successives sont nulles.
4° Chercher la différentielle totale du quatrième ordre de la fonction
u — .ryz.
On a successivement
du du du , . , *
~dx " J2' dr^**' dz i =J^» du=yzdx-*-xzdjr-rxydz,
d*u __ d%u __ d*u __ fft« __ d>u d*u
Sx*"0' !fyt~~0' dz~2~°' cù^aj *> d£dz~~X' ayTz~Z° d*u — it(zdxd) -ydrdz-*- xdydz).
On a ensuite
i, /dit , du , du , \* d3u-\didt -dydïhdzdz)>
d?u __ dïu rf*« __
Z^""0' •"■' à^^0' '"' dxajrdz-1'
Il en résulte immédiatement, d'après la loi de formation du cube (fan polynôme (309),
dzu = Gdrdydz.
dx, dy, dz étant des constantes, d*u et toutes les autres différentielles totales successives sont nulles.
Différentielles totales des divers ordres d'une fonction composée de fonctions de plusieurs variables indépendantes.
661. Il peut arriver que les variables qui entrent dans la fonction considérée soient elles-mêmes des fonctions d'auties variables indépendantes.
Supposons, par exemple, qu'on ait
ç et w étant elles-mêmes des fonctions de certaines variables indépendantes x et y.
11 est facile de voir d'abord qu'on a
. du , du ,
d u — —. - dv -\- -,— dw, dv dw
comme si i> et w étaient des variables indépendantes.
En effet, si l'on remplace v et w par leurs valeurs en fonction de x et de y, on a l'expression de u en fonction de ces
mêmes variables et, d'après ce qui précède (655), on peut
alors poser
, du j du ,
du — -7- dx -| — j- dy.
dx dy J
Or -7- dx est la différentielle partielle de u regardée
comme fonction de la seule variable x dont dépendent v et tp. On aura donc, d'après la règle de différentiation des fonctions, composées de fonctions d'une seule variable indépendante (567),
du . du / dv , \ du fdw \
dx dv \dx J dw\dx )y
et, de même,
du , du I dv . \ du ( dw , \
Tyd*=irAirydy) + -d^\Tydyy
En ajoutant ces deux résultats, on trouve pour valeur de du
. du f dv , dv , \ du fdw , dw , \
du=-d;{7&d* + iïdr) + dï[tedx+dïdr)'
Or les quantités entre parenthèses, qui multiplient les dérivées partielles -7- et -j-> sont précisément (655) les valeurs
des différentielles dv et dw quand on considère v et w comme des fonctions de x et de y. On a donc bien
.x j du , du .
(1) du = — dv 4- -7— dw.
Cette démonstration, qu'on étend facilement à un nombre quelconque de fonctions dépendantes et de variables indépendantes, prouve que la différentielle totale du premier ordre de u ne change pas de forme, que les variables v et w dont cette fonction dépend explicitement soient ou non indépendantes.
On voit de plus par là, puisque le théorème des fonctions composées se trouve ainsi généralisé, que les règles de différentiation relatives aux sommes, aux produits, aux quotients et aux puissances des fonctions d'une seule variable, subsistent pour les fonctions de plusieurs variables, dépendantes ou indépendantes (579).
5ÔO ALGEBRE SUPÉRIEURE.
662. Mais il faut bien remarquer que les différentielles totales des autres ordres de la fonction u changent de forme, parce que les facteurs dv et dw qui remplacent dx et dy dans l'expression de la différentielle totale du premier ordre ne sont plus constants.
Ainsi, en différentiant les deux membres de l'équation (i) [661], on aura, puisque les règles de différenliation des sommes et des produits sont applicables et que v et w sont des fonctions de x et de y,
En appliquant toujours la formule (i), puisque -7- et jsont des fonctions de v et de w9 on a
ffdu\ dru \dï) ~ dï*
dv+dTdZ>dw'
*{du\ d*u , cPa ,
\dw) dw* dw dv
En substituant ces valeurs dans la relation (2), on trouve
j, d*u , , dïu , , d*u , m
dru— -— dvx -+- 2 . , dv dw -+- -j—z dw% dv% dv dw dw*
du « du „ dv dw
ou, si Ton veut, en employant la forme symbolique pour les trois premiers termes,
j« (du j du j \ du j, dïu — K-rdv-tr-î-dw} ■+- -y-d}v- \dv dw ) dv
' du , du , V du ^ du „
-f- -j—cPw.
dw
. En comparant avec le résultat obtenu au n° 658, on voit
qu'il s'introduit ici deux nouveaux termes -y-cPv, -r-<Pw. et
dv dw
qu'il restera à calculer d*v et d*w en fonction des variables
indépendantes x et y et de leurs différentielles.
663. On pourrait continuer de même pour calculer d*u, dku, — Mais les calculs se compliquent et, au delà de rf1*,
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 56 1
les résultats ne sont guère utiles dans les applications ordinaires.
Le plus souvent, il est préférable de chercher séparément et directement les différentes dérivées partielles qui doivent entrer dans les différentielles totales qu'on a à former, ce qui ramène au cas des fonctions d'une seule variable.
Veut-on, par exemple, calculer la dérivée partielle
dmu on différentie la fonction
n fois par rapport à la variable indépendante x7 ce qui donne
dn u #
puis on différentie ce premier résultat p fois par rapport à la variable indépendante y, ce qui conduit à
dn+Pu dxn dyP
664. Il est important de signaler un cas particulier : p et w peuvent être des fonctions linéaires des variables indépendantes x et y, c'est-à-dire des fonctions de la forme
v —a-\-bx-\- cyf
dv et dw sont alors des quantités constantes quelles que
soient les valeurs de x et de /, pourvu qu'on prenne comme
à l'ordinaire dx et dy constants. Toutes les différentielles
de p et de w sont, par suite, nulles à partir de <Ps> et de <Pw,
et Ton retombe nécessairement sur la formule symbolique
(du , du , y
qui s'étend à un nombre quelconque de fonctions linéaires dépendantes.
De C.— Cours. 111. 36
