I -h <7*-r- tZ = O

et l'on en déduira, en faisant intervenir l'équation donnée, !

i = — El = — 5£

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 56g

On trouvera finalement, d'après ces valeurs,

, xdx-hydy

d*z = - [(a* — y*)dx*-+-9.xydxdy -4- (a1 — x*)dy*\.

2° Soient les deux équations

où y et z sont des fonctions implicites delà variable indépendante x et où k et a sont des constantes. On demande de déterminer dy et dz, d*y et d*z.

En opérant directement et en différentiant une première fois les deux équations, on a

dx -r- dy -+- dz — o,

xdx -^ydy -h z dz = o.

En résolvant ces deux équations du premier degré en dy et en dz, on trouve facilement

, __ zdx — xdx , xdx — ydx

et, par suite.

dy z — x dz x — y

dx ~ y — z ' dx ~~ y — z

En différentiant de nouveau les résultats précédents et en se rappelant que dx est constant, on a

dx*-~- dy*-\- dz*-+-yd\y -f- zdïz — o.

La première équation donne d*z = — d*y. La deuxième devient alors, on remplaçant dy et dz par leurs valeurs,

dx*+ y kd** + r- — ^dxt + ir — z)d*y = o;

d'où Ton conclut

• gr=(r-Q»+(«-«),+<*---r>,x£r.

= ^ i' — , - -dx*.

dïy

la*— X*

rfx*

de*

D7O ALGEBRE SUPÉRIEURE.

Une transformation évidente conduit à

a* > = . — au», d ou

On a ensuite

rf«r. =- <zdx*, d'où

673. Il nous resterait, pour terminer ce qui constitue à proprement parler les principes du Calcul différentiel, et avant de passer à ses applications analytiques les plus usuelles, à traiter le problème du changement de variables. Mais celte question, importante surtout en Mécanique et en Physique mathématique, n'étant d'aucune utilité en Algèbre supérieure, nous la renverrons à la fin de ce Cours.

ALGEBRE SUPERIEURE.