DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS. FORMULES DE TAYLOR ET DE MACLAURÏN

Formule de Taylor.

674. Cette formule célèbre, dont nous avons déjà trouvé l'expression finie dans le cas des polynômes entiers (324 el sniv.), permet de développer toute fonction d'une seule variable en série ordonnée suivant les puissances de l'accroissement qu'on lui donne à partir d'une valeur fixée arbitrairement.

Cette formule n'est pas complètement générale, les conditions de convergence indispensables n'étant pas toujours satisfaites, et son emploi se trouvant ainsi restreint; mais elle n'en est pas moins d'une utilité incontestable.

Quand la fonction F (a?) est supposée entière et de degré m, on obtient, pour le développement de F(^r-t- A) suivant les puissances entières et positives de l'accroissement h, la formule finie (324)

F(i + A)^FW+F'W-

h} hm

Le développement du second membre s'arrête à la mièae dérivée, puisque les suivantes sont nulles.

Nous allons montrer que la même forme de développe^ ment, sauf les restrictions indiquées, peut s'appliquer à une fonction quelconque, pourvu qu'elle soit continue dans un certain intervalle; mais, alors, le développement du second

membre se poursuit indéfiniment, et Ton a à considérer une série.

675. Désignons par F(x) une fonction quelconque de x, finie et continue pour toutes les valeurs de la variable allant d'une valeur donnée x0 à une autre valeur donnée ^0 + Azra?,.

Supposons que la même condition soit remplie par les (/i + i) premières dérivées de la fonction.

Nous poserons

F(*,+ A)=:F(*l) + *F^)H~F'W+r^jFr(/l)+.| +- —l F»(j.)-î- ^—. rR.

p est un nombre entier quelconque. R est une quantité inconnue qu'il faut déterminer de manière à satisfaire à la relation (i) et qui dépend évidemment de x0 et de A.

Substituons ^àx0+/i dans le premier membre de la relation (i), et mettons dans le second membre xx — x9 à la place de h; en réduisant ensuite ce second membre à zéro, nous aurons

î F(*,)-F(*,)-^— eF'(*0)

(2) - <£!=^IV(,gf)- (*'~*° V(*,)-...

\ 1.2.3. ..,1 (%r°> 1.2.3. ..rtQ*-H,)

Si nous substituons maintenant à -r0> dans le premier membre de l'égalité (2), excepté dans R, une valeur de la variable x comprise dans l'intervalle (#<>, #1), ce premier membre deviendra une fonction de x qui ne sera plus nulle. En la désignant par/(#), nous aurons

/(jO=F(*i)-F<*)-S^F'(*)

i.a.3...n i.a.3.. .n(p-hi)

Cette fonction f(x) est continue et finie dans l'intervalle (j?0, #,), d'après les conditions indiquées. Elle s'annule évidemment, d'après l'égalité (2), pour x = x0] et elle s'annule encore pour xz=xi. Puisqu'elle est continue dans l'intervalle considéré, elle admet une dérivée dans le même intervalle; et il résulte de ce qu'on vient de dire et du théorème de Rolle (633) que cette dérivée s'annulera nécessairement pour une valeur de x comprise entre x0 et xt.

D'ailleurs, pour trouver la dérivée de f(x), nous remarquerons que F(#t) est une constante et que, à partir du troisième terme du second membre de la relation (3), on a à prendre la dérivée d'un produit de deux facteurs. En écrivant alors sur des lignes séparées les termes où figurent les dérivées de F(x), F'(x)y ¥"(x), ..., ceux où figurent les dérivées de (#1 — x), (xi — x)*, ..., et enfin la dérivée du dernier terme où entre R, il viendra

/'(jt) = -F'(*)-^p?F(*) -lïi=££. F (*)-...

(£.-*)-' FMW(£i^£llF^(^)

En simplifiant, on trouve

(4) •/^)=Cfiç5ZR iiv=^:F»-(-).

/'(x) devant s'annuler pour une valeur de x comprise entre x0 et xl9 et qu'on peut représenter par conséquent par x0-+-dh, 0 étant un nombre posilif compris entre o et 1, nous aurons, en remplaçant x par cette valeur dans l'équation (4),

(*t-*.-0h)'R(xl-x.-0hY> x9+gh

c'est-à-dire, en remettant h à lai place de x^ — x0 et en mul-

5ji ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

tipliant les deux membres de l'égalité par i .a.3. . .n.

o-^(i-^R- hn (i — *)* F*"-1 (xq-±- 9A), d'où

(5) R — A*-*(i — 6)n-PFn+l(x0-t- 9h).

Le terme complémentaire de l'égalité (1) devient ainsi

ou

En reportant cette valeur dans la môme égalité et en écrivant x à la place de x0 pour mieux marquer que la valeur de la variable prise pour point de départ est arbitraire, sous Us conditions indiquées, nous obtiendrons finalement

La formule (A) est la formule de Taylor, dans le cas gé- 1 néral.

Lorsque le terme complémentaire, c'est-à-dire le dernier terme du second membre, tend vers zéro autant qu'on veut, j quand n croît indéfiniment, le second membre de la formule se change en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes de l'accroissement A : c'est la série de Taylor. Le terme complémentaire devient le reste de la série, et fait connaître l'erreur commise quand on s'arrête dans la série au (n -+- i)»**» terme.