Si, dans la formule (A), on change A en —A, il vient
Les formules (A) et (B) sont applicables, sauf les remarques que nous présenterons ultérieurement, à toutes les fonctions qui restent finies et continues, ainsi que leurs ( n -+- i) premières dérivées, entre les limites x — h et x -+- h.
677. Autres formes du reste. — p étant un nombre quelconque, on peut faire p = n. Le terme complémentaire (675) prend alors la forme très simple, indiquée pour la première fois par Lagrange,
frn+l
Fn+*(x-h9h).
Si Ton fait/? =o, on obtient cette autre forme du reste de la série (675)
— ^-1 (i - 0)* F«+« (x -h dh),
qui a été donnée par Caccht et qui peut être utile dans les applications.
678. Les différentes formes du reste contenant le facteur Fn+*(x-+- Oh), où 0 est un nombre indéterminé compris entre o et î, la difficulté pour s'assurer de la convergence de la série de Taylor est de reconnaître si Yn+t(x-+-9h) conserve une valeur finie quand n croît indéfiniment.
Prenons le reste de la série sous sa forme la plus simple (677)
hn+x
i.a.3. . ./i(n-i-i) et remarquons que le premier facteur
tend toujours vers zéro, qnand n croît indéfiniment. En effet, lorsque n + u dépassé la valeur de h et que Ton continue à faire croître n, on doit multiplier l'expression précédente
par les fractions proprement dites , 5> - • -, qui deviennent de plus en plus petites. Lors même qu'elles seraient toutes égales à la première, on sait que leur produit aurait pour limite zéro (V78). Il en sera donc de même a for-
tiori du premier fadeur du reste, et ce reste tendra alors vers zéro autant qu'on voudra, si la fonction F(x) et toutes ses dérivées jusqu'à Fn+l(x) demeurent continues et unies entre x et x-hhy lorsque « croît indéfiniment.
Dans cette hypothèse et en ne conservant que les (n-pi) premiers termes de la série, si Ton désigne par m et par M la plus petite et la plus grande valeur de Fn-*-,(j?) quand x varie de x à x h- /i, le terme complémentaire sera lui-môme compris entre
et
et Ton obtient ainsi deux limites de Terreur commise.
679. Il n'est pas inutile de faire observer que, sauf la forme du reste, la fonction F(x -+- h) ne peut pas être développée, suivant les puissances croissantes de A, d'une autre manière que par la formule (À) [675]; car nous avons démontré (422) l'identité de deux séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières et positives d'une même variable, lorsque leurs sommes sont égales.
680. Si, dans l'équation (A) [675], en donnant au reste la forme la plus simple (677), on fait successivement /* — o et n = i, la formule de Taylor se réduit à ses deux ou à ses trois premiers termes, et devient successivement
F(x -h h) = F(x) h- - F'(x -T- Oh),
F(x + A)= F(x) -+- * F'(x) +- — F"(x -h Oh).
On l'emploie souvent sous l'une de ces deux formes.
681. Si l'on pose/ = F(#), la formule de Taylor peut s'écrire, en adoptant toujours pour le reste la forme la plus simple, •
Mais, h étant l'accroissement constant arbitraire donné à x, les quantités
hF'(x), hm-F"(x), ..., h"Fn(x), hn+lFn+l(x)f
sont précisément, par définition (639), les différentielles successives
fyt &y, ..., dny9 d*+*y,
de la fonction y. On peut donc écrire, en désignant par
la valeur de la différentielle du (« + i)ième ordre, qui répond, non plus à x, mais à une valeur de x comprise entre x et
i ' ** i iv j dry d*y
F(x + h) = y + dy + --f -H -^ + ...
fA') J
Si Ton suppose maintenant h infiniment petit et égal à dx, les termes successifs du second membre deviennent des infiniment petits (639) dont Tordre va en augmentant et, par suite, Terreur commise en s'arrêtant à un certain terme est un infiniment petit d'ordre supérieur relativement au dernier terme conservé.
On présente souvent ainsi la formule de Taylor; et, dans ce cas, les termes de la série permettent d'approcher de la valeur de F(x-\- h) par une suite d'approximations dont Tordre est de plus en plus élevé, Terreur qui persiste après Taddition de chaque terme étant infiniment petite par rapport à ce terme lui-même.
682. Il faut bien remarquer que la formule (A) [675] peut être exacte jusqu'à une certaine valeur de /i-t-i et devenir inexacte pour une valeur plus grande, parce que les dérivées qui suivent la (n -h i)ième dans le développement deviennent infinies pour la valeur spéciale attribuée à x. On doit alors ne poursuivre le développement que jusqu'à la /iièœe dérivée et le compléter par le reste. II est clair d'ailleurs que le
De C. — Cours. III. 3-]
développement peut se trouver en défaut dès le premier terme.
683. De même, il ne suffit pas que le second membre de la formule (A) soit une série convergente, pour pouvoir affirmer que la formule est exacte; car cette série peut avoir une limite différente du premier membre F(«r -+- h).
Si Ton a, par exemple, F(o?) —f(x) -+- <p(aO, el Que h fonction f(x) soit développable par la formule de Taylor pour la valeur x=zœ09 tandis que, pour cette valeur, la fonction <p(#) demeure nulle, ainsi que toutes ses dérivées, sans être pour cela identiquement nulle, le développement de F(x0H-A) donnera précisément lieu à la série convergente qui a pour limite f(x0 H- h) et non F(#0-b /1).
L'exactitude de la série de Taylor ne peut être établie qu'eo prouvant que le reste qu'il faut ajouter à la somme d'un nombre quelconque de termes de la série. pour obtenir F(a? -h h) tend vers zéro autant qu'on veut, quand le nombre des termes considérés augmente indéfiniment.
Formule de Maclaurin.
68i. On peut, clans la formule (A) [675], permuter j: et h. On a alors, puisque le premier membre ne change pas,
F(*-hA) = F(/i) + *F'(A)-t- f^F'(A)
JC1
(i — Q)*-pF*+i{h-\-9x).
1.2.3. . .n{p -H 1) Si l'on suppose maintenant A = o, il vient
JFW=F(o)+JP(o)+^P(o)
(°) ! -H-^rF'(0)H-...-h ~ F"(o)
I 1.2.3 1.2.3. ..rt w
(i — 9)«-''F"+i(ex).
On donne à ce résultat le nom de formule de Maclaurw,
ALGEBRE SUPÉRIEURE» 579
bien qu'elle ne soit, comme on le voit, qu'un cas particulier de la formule de Taylor, et que Maclaurin lui-même, dans son Traité des Fluxions, l'attribue à Taylor.
La série, ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de x, qu'on obtient dans le second membre de la relation (C) quand on fait croître n indéfiniment, a F(x) pour limite, toutes les fois que le terme complémentaire ou le reste de la série a lui-même zéro pour limite.
Ce reste, pour /*=/>, prend la forme simple
pour/? = o, il devient
xr ■'
Fn^(6x);
— ^ (1 — e)nFn^l{6x).
