iN

Comme nous l'avons déjà observé pour la série de Taylor (679), tout développement d'une fonction F(x) en série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de a? se confond nécessairement avec celui qui est donné parla formule de Maclaurin.

Les remarques des n08 682 et 683 s'appliquent également ù la série de Maclaurin.

685. Si l'on avait trouvé d'abord la formule de Maclaurin, on en aurait déduit immédiatement celle de Taylor, en considérant F (j? -h h) comme une fonction de A et en la développant suivant la formule de Maclaurin. On obtient ainsi, en effet, puisque, lorsque Ton suppose h — o dans F(a; + A), il reste F(x),

F(x -H h) = F(J?) -+- - F'(jr) -h — F"(x)+...;

ce qui est la formule de Taylor.

Extension des formules de Taylor et de Maclaurin aux fonctions de plusieurs variables.

686. Nous considérerons une fonction de deux variables. Le raisonnement que nous allons présenter s'étend sans difficulté au cas oii la fonction proposée contient trois ou un plus grand nombre de variables.

58o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Nous pourrions suivre la marche indiquée pour le développement des fonctions entières, dans le cas de deux variables (329).

Ainsi, prenant la fonction quelconque F(&, y), nous commencerions par développer F (x -+- h9y), suivant les puissances de A et d'après la formule de Taylor (675), en regardant i comme seule variable. Dans le résultat obtenu, nous changerions y en y -+- k, et nous développerions chacun de ses coefficients d'après la même formule et suivant les puissances de k. Nous parviendrions de cette manière au développementde F(j?-+-A, .y-H k). Mais il est préférable de suivre une autre marche due à Càuchy, et qui conduit à une expression plus simple du reste.