Remplaçons F(a? -h A, y -\- k) par

F(*-4-A*f<yH-*0=/(0.

et développons cette dernière fonction suivant les puissances de t, en appliquant la formule de Maclaurin (68b). En faisant ensuite t = i dans le résultat trouvé, nous obtiendrons évidemment le développement cherché.

11 viendra, en adoptant la forme la plus simple du reste,

F(^ + A/,j-H kt) (i)| =/(0^=/(o)+ 7/(0)+ ï^/'(°> + 7X3^(°)+-

( + rr3^7/"(0) + ,.2.3...(.-M)/"(W)-

Pour calculer les termes de ce développement, nous allons chercher l'expression générale (\ef*n(t)f et nous y ferons ensuite t = o.

Nous avons trouvé précédemment (658), pour représenter la différentielle du mièmo ordre d'une fonction de deux variables, H = <p(#, /), l'expression symbolique

(du . du , \f> U = (dJcdx+dj>d>y)

où il suffit de remplacer les exposants des puissances de du par les mêmes indices de différentiation.

Or nous pouvons poser ici

x H- ht= uy y-\-kt = r,

et regarder u et v comme deux variables distinctes pour les*

quelles on aura

du = hdty dv = kdt>

en supposant dt constant et en remarquant que les valeurs de x et dey sont indépendantes de t. Il en résulte

f(i) = F(x + hi9y + ki) = ¥(u,ç)9

c'est-à-dire, symboliquement,

{dF d¥ \m

Si Ton divise par dtm les deux membres de la relation précédente, on a évidemment, en tenant compte des valeurs de du et de dv,

car, en divisant chaque terme de la parenthèse du second membre par dt9 on le divise lui-même par dtm.

Faisons maintenant t = o, ou u = xt\.9-=y9 dans les dérivées de F (m, v) par rapport aux variables u et v. Ces dérivées deviendront les dérivées correspondantes deF(.r, y) par rapport à x et à y. On peut donc écrire

en entendant toujours l'expression au sens symbolique.

La valeur de/*4"1 (6^), qui entre dans le terme complémentaire de l'égalité (i), s'obtiendra aussi à l'aide de la relation que nous venons d'employer. On formera l'expression

/dF dF \n+l

On remplacera ensuite les exposants de dF par les indices correspondants; et l'on substituera enfin à u et à c les valeurs x+hQt et y-\- kQt, qui deviendront x -h 6 h et y h- 0 k pour « = i.

Ce qui précède permet d'écrire symboliquement, comme il

suit, l'égalité (i), en y faisant d'ailleurs t=zi,

N /rfF. rfF.N i /rfF, d¥,V

i /rfF, rfF.V i /rfF. rfF,»

i .2.3 \rfa? aTy / i . 2 . 3 . . . /i \dx dv

i /rfF/t ^AAn+1