l-f-l)\rf# * rf/ J(x=.r + U, y=y + Hl

Les indices inférieurs signifient que, après avoir régulièrement formé le dernier développement, on devra y remplacer x et y par x -\- Bh et y •+- Bk, B étant une fraction positive proprement dite

Lorsque le dernier terme du second membre a pour limite zéro, quand n croît indéfiniment, F (x -+- h, y -+- k) se trouve développée suivant une série convergente indéfinie.

C'est ce qui a lieu nécessairement, lorsque aucune des dérivées qui entrent dans le terme complémentaire ne peut devenir infinie par la substitution de x -h Bh et de y -+- Bk à la place de x et de y. Admettons, en effet, que P soit un nombre supérieur en valeur absolue à chacune de ces dérivées. Le terme complémentaire sera alors évidemment inférieur à

r Ah + ky**\

et cette expression a pour limite zéro lorsque n croît indéûniment (678).

688. Si l'on suppose que h et k deviennent les infiniment petits dx et dyy on a

(^+^)'"==rfmF(*'-r)-

La formule (D) [687] prend alors la forme

SF(x -+- dx9y -f- dy)

I rf'F(x,y) [<*"•' F(g,jO]tir+ft<!,,y+*w

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 583

la valeur de la différentielle du (/i + i)ièffle ordre répondant, non plus à x et à /, mais à une valeur de x comprise entre x et x -hdx et à une valeur de y comprise entre y et y -H dy.

La formule (D') montre que l'expression de l'accroissement infiniment petit d'une fonction de deux variables est identique à celle de l'accroissement infiniment petit d'une fonction d'une seule variable (681).

Si dx et dy sont infiniment petits principaux ou du premier ordre, chaque terme du développement obtenu est infiniment petit par rapport à celui qui le précède, et l'erreur commise en s'arrôtant au terme d'ordre n est un infiniment petit d'ordre /i + i.

689. Pour étendre maintenant la formule de Maclaurin (684.) aux fonctions de deux variables, il suffit de faire à la fois x=o et 7 = 0 dans la formule (D) [687]. En désignant

Par \7F~) y \d~) ' \d~*) y " *' ce {*ae deviennent a*ol's *es différentes dérivées, on a ainsi, en effectuant,

f(».*,=fh^+*(g)t+*(*)>

Comme h et k sont complètement arbitraires, on peut les remplacer par x et par/, et il vient

C'est la formule de Maclaurin étendue au cas de deux variables.

Le terme complémentaire devient

i fdF dF 1 «+1

i.2.3...(/i-m) \dxX^~ dyy\{x==toXty^yS

c'est-à-dire que, dans les différentes dérivées qui y entrent,

584 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

on doit remplacer x par 6x et y par Qy, 9 étant toujours un nombre indéterminé, positif et moindre que i.

690. Il ne faut pas perdre de vue que les formules de Taylor et de Maclaurin ne peuvent être étendues ainsi aux fonctions de deux ou de plusieurs variables, qu'autant que la fonction proposée et toutes ses dérivées partielles restent ! continues et finies jusqu'à l'ordre n -+- 1 inclusivement, pour j toutes les valeurs de x et de y comprises dans l'intervalle considéré (675).

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 585