CHAPITRE XIII

APPLICATION DE LA FORMULE DE MACLAURIN A QUELQUES DÉVELOPPEMENTS IMPORTANTS.

Développement de la formule du binôme pour un exposant quelconque.

691. Proposons -nous de trouver le développement de (a -+- b)my dans le cas où l'exposant m est quelconque.

L'expression (a+è)'n est alors susceptible de plusieurs

valeurs, dès que m n'est pas un nombre entier, positif ou

négatif (128, 129, UO, 145). Mais, si a -+- b est une quantité

positive, Tune de ces valeurs est réelle et positive, et c'est la

seule que nous considérerons ici.

b En posant - = x, nous écrirons

(a 4- b)m=zam ( n — Jm= am(i -+- x)m,

et la question est ramenée à développer

Or nous avons trouvé précédemment, d'une manière générale, pour la dérivée du nièm* ordre de xm (6M, i°),

m(m — i)(w— 2)(/n— - 3). . .(m — n -+■ \)xm-n.

Nous n'avons évidemment qu'à remplacer, dans ce résultat, x par i -+- x (564), pour avoir

Tn(x)=:m(m — i)(tft— 2) (m — 3)...(w — n-\- i){i + x)m-n

et

Il en résulte immédiatement, d'après la formule de Mac-

laurin (684-), et en écrivant le résultat de manière à loi donner l'aspect du développement habituel (255),

m(m — i) (m — 2). . .(/w — w-hi) l xn

»(m — )(m-a)...(»-W) ,(( + gj)B...., i.2.3. . .(/n- 1) v '

Quand x est plus grand que i e/i valeur absolue, la série obtenue, abstraction faite du terme complémentaire, est divergente.

En effet, le rapport de deux termes consécutifs, tels que

et

m(m — i) (m — 2)...(m-n + 2) nl

un = — — y- *n

est représenté par

Ce rapport a donc pour limite — x quand n croît indéfiniment; et, par suite, quand la valeur absolue de x est plus gi\nde que 1, la série est divergente (362).

voit qu'iï ne peut y avoir convergence que si x est mài\lre que 1 en valeur absolue; et ce n'est que dans ce cas (Vil est nécessaire de s'assurer que le reste de la série a pour limite zéro.

Supposons d'abord x compris entre o et 1, c'est-à-dire positif.

On peut mettre le reste sous la forme (145)

] [ïT*]""-

La première parenthèse tend vers zéro, quand n croît indéfiniment; car, lorsque n croît d'une unité, elle se trouve multipliée par le facteur

quantité qui, pour n assez grand, se rapproche autant qu'on veut de — x (ce qu'on voit en divisant les deux termes de la fraction par n), c'est-à-dire devient moindre que i en valeur absolue. On a donc à considérer dans cette parenthèse, et à partir d'un certain point, une suite de facteurs dont le nombre augmente indéfiniment, qui sont plus petits que i et décroissants, et dont, par conséquent, le produit a pour limite zéro, de sorte que cette limite est aussi. celle de la parenthèse (478, 3M)).

La seconde parenthèse est évidemment moindre que i et sa limite est zéro pour n assez grand, à moins que 0 ne tende vers zéro en même temps que n tend vers l'infini; dans cette hypothèse, elle tend vers la limite i en restant moindre que i.

Le reste de la série a, par conséquent, zéro pour limite dans tous les cas, et cette série est convergente lorsque x, positif, est compris entre o et i .

Supposons maintenant x compris entre o et — i , e'estk-dire négatif.

Le raisonnement précédent n'est plus applicable, parce que Ja seconde parenthèse indiquée dans l'expression du reste devient plus grande que i pour n assez grand et croît indéfiniment en môme temps que n9 à moins que 0 ne tende simultanément vers zéro; et, alors, elle tend vers la limite i, en restant supérieure ai.

Il faut donc avoir recours à la seconde forme du reste, qui est ici (684)

[m(m — i)(m — 2)... (m — n) „J 1lr/ Aw, , r Xm „ <n I.2.3.../I J J

On voit, comme ci-dessus, que la première parenthèse a pour limite zéro lorsque n croît indéfiniment. Quant à la seconde parenthèse, on peut l'écrire, en remplaçant x par — z, puisque x est négatif,

• La fraction 7— est une fraction proprement dite, et sa

1 — Uz

puissance niime tend vers zéro ou vers l'unité à mesure que /:

augmente, tandis que la puissance (m — i)»»« de la fraction i — Qz demeure toujours une quantité finie.

Le reste de la série a donc encore zéro pour limite, el cette série est aussi convergente lorsque x, négatif, est compris entre o et — i.

En résumé, pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et -h i, on a

H - xn -f- . . . .

Le développement de (a -+- b)m suivant la formule habituelle (255), lorsque l'exposant m n'est plus entier mais quelconque, n'est donc permis que dans V hypothèse où a est plus grand que b en valeur absolue.

692. Il nous reste à examiner les cas particuliers où Ton a x = ±i9 pour lesquels les raisonnements précédents ne sont plus admissibles.

La formule qu'on vient de démontrer ayant lieu pour toutes les valeurs de x comprises entre -f-i et — 1 et, par conséquent, pour des valeurs de x aussi proches qu'on voudra de ■+• i ou de — 1, sera encore vraie pour j;=+i ou pour # = — 1, à la condition que les séries correspondantes du second membre demeurent convergentes; car les deux membres de la formule étant toujours égaux dans l'intervalle indiqué, si chacun d'eux tend vers une limite déterminée pour x = -+-i ou pour x=— 1, ces deux limites seront nécessairement égales entre elles (334-).

Or, pour # = ±1, on obtient les deux développements suivants :

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 58g

Le rapport d'un terme au précédent est (691)

Un

5/m + i est un nombre négatif, c'est-à-dire si m est compris entre — i et — oo, ce rapport est plus grand que i en valeur absolue, et la convergence est impossible pour les deux développements à la fois, puisque leurs termes ne tendent pas vers zéro (362).

A la limite, pour m = — i, le rapport — — est égal

Un-\

à =pi, de sorte que les termes des deux séries considérées ont tous la même valeur absolue et que la convergence est encore impossible. La première devient la série indéterminée ï — i -m — i ~h ... , et la seconde, la série divergente 1 + 1 + 1 + 1 +

Il faut donc supposer m + i positif, c'est-à-dire m compris entre — i et + oo.

Considérons d'abord le premier développement. Le rapport d'un terme au précédent est ici

un __ m + i __ wrt, ~~ n ~~ '

de sorte que, pour m + i positif et pour n assez grand, ce rapport finit toujours par être moindre que i en valeur absolue. Les termes de la première série finissent donc par diminuer de l'un à l'autre, en étant alternativement positifs et négatifs, ce qui entraîne la convergence de la série (394). Finalement, on a

tant que m + 1 est positif.

Considérons le second développement. On a alors

un __ (m +1 \ m + i

Ce rapport, pour n assez grand, finit toujours par rester inférieur à 1; mais sa limite, pour n — cc, est égale à l'unité : on est donc dans le doute (375).

OgO ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Pour décider, désignons par (U ) le développement

/¥TV m m(m — i) m(m — i)(m — 2)

et coin parons -le à la série (V)

On a, en même temps, pour le rapport d'un terme au précédent dans les deux séries,

et

x ou - étant ici moindre que 1, on peut appliquer à cette dernière expression la formule du binôme (691 ) et écrire, en se bornant à trois termes,

/tt-hi 1 (m -h 1) (m -h 2) 1

i(-ir-

'On a donc, puisque /w -+■ i est positif, |

ou

Un Un-\

Il en résulte (385, 367, VI) que la convergence de la série (V) doit entraîner celle de la série (U). Or la série (V) est convergente, lorsque m est positif (377, 3°); il en est donc de même de la série (U).

Ainsi, V on a

, xm m m{m—\) m(m — i)(m — 2)

tant que m est positif.

Il est clair, d'ailleurs, que le premier membre de la formule devient infini, lorsque m est négatif, et que, par suite, la série du second membre est alors divergente.

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 5()1

Développement des fonctions exponentielles.