Soit

Nous ne prenons pas directement la fonction lx9 parce que nous voulons appliquer la formule de Maclaurin et que, pour x = o, la fonction Ix et toutes ses dérivées seraient infinies (196, 586).

D'après le résultat obtenu d'une manière générale (611, 3°), on peut évidemment écrire, pour le cas considéré de F(x) = /(i-t- x) et en se reportant au théorème des fonctions de fonctions (56V),

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 5g3

Ou trouvera donc directement la première dérivée de la

fonction

F'(œ)=— i=(n-jp)-i;

et l'on aura ensuite, en faisant successivement n — 2, 3, ... />, dans la formule ci-dessus

F*(aO-=(--02i.2(iH-^)-3,

F» ( J? ) -- (— 1 )n~l 1 . 2 . 3 . . . ( n — 1 ) ( 1 4- x )-« = qzi.a.3...(/i — i)(i -h jr)-",

:db j .2.3. . .n

Il viendra donc, en faisant x— o dans la fonction et dans ses dérivées successives, sauf la dernière, et en se rappelant (>96) que Z.i'= o,

x x* x3 .rv

/(I+jr)=7-T + -3--T+...

Nous avons déjà étudié cette série (397, 20), abstraction faite du terme complémentaire, et nous avons reconnu qu'elle était divergente lorsque x était supérieur 5 1 en valeur absolue ou égal à — 1, et qu'elle était convergente lorsque x était inférieur à 1 en valeur absolue ou égal à -t- 1.

Nous allons vérifier de nouveau cette convergence, en considérant le terme complémentaire qu'on peut écrire

1 / x yi+>

n -f- 1 \ 1 -H OxJ Si x a une valeur positive moindre que 1 ou égale à 1, est une fraction proprement dite dont la puissance