Qx

{n 4- i)ièœe peut devenir moindre que toute quantité donnée. Le reste de la série à donc alors zéro pour limite, et la série est convergente.

Dk O. — Cours. III. 38

Jg4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Si x a une valeur négative comprise entre oet-i, posons x——z. Le terme complémentaire deviendra, en laissant son signe de côté (340),

i zn^ i / z Y*1

n 4-1 (i — Ozy+i "rt + i \ i — 5x?/

Sous cette forme, on ne peut pas affirmer que le reste de

la série tende vers zéro, parce qu'on ne sait pas si — ^-y- est

i — Vz

une fraction proprement dite. Pour lever la difficulté, nous

aurons recours à la forme plus générale du reste (684)

{i-6)nFn+l(6x).

On trouve alors, pour le terme complémentaire qui répond à la fonction /(i 4- x), en remplaçant toujours x par — z sans tenir compte du signe du résultat,

Comme z est moindre que i, - — ^~ est une fraction pro-

prement dite inférieure à i, et sa puissance ntim* a zéro pour limite quand n croît indéfiniment; — ^- est d'ailleurs une

quantité finie inférieure à ■■ J^ ^ Le terme complémentaire

de la série a donc zéro pour limite, et la série est encore convergente.

En résumé, pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et 4- i , et aussi pour x = i , on a

., x xx x* a*

Pour x =i — i, le premier et le second membre de celle égalité deviennent tous deux égaux à — oo; car le premier membre se réduit à l.o — — oo (W6), et la série du second

membre se confond avec la série harmonique (363) changée de signe.

Le développement que nous venons d'établir va nous conduire aux formules relatives au calcul des logarithmes.

Calcul des logarithmes népériens.