La série

. . ,. x X X1 X* xk

étant convergente (696) pour toutes les valeurs de x comprises entre — 1 exclusivement et -t-i inclusivement, on peut

d'abord y changer x en ^ en désignant par N et par z < N

deux nombres positifs quelconques. Il vient ainsi

de sorte que Ton peut écrire

(a) /(N+a) = IN + g-s5i + 5£,-5£î+....

On peut aussi changer x en — x dans l'égalité (1), à la condition que x demeure toujours compris entre o et 1 . On obtient alors la nouvelle égalité

X X1 X* xk

En retranchant l'égalité (3) de l'égalité (1), on a

Comme est plus grand que 1, on peut poser, en dési-

gnant par z et par N deux nombres positifs quelconques,

d'où il résulte

Le premier membre de la relation (4) devenant

/NL±i = /(N + 5)/N,

on peut écrire, en remplaçant x par sa valeur dans le second membre,

(5) (/N-+-5) = /\-»-ar^

3(aN -+-z)* o(2yS-hz)i "\

On voit que les formules (2) et (5) permettent de calculer le logarithme népérien du nombre N + 5 lorsque Ton connaît celui du nombre N.

En faisant, en particulier, z=i dans ces deux formules, on a

(6) /(N + 1) = ZX -h ~ - ~ -+- 3 L - ~ 4-. . .,

(7) /(N -T- l) — /N 4-2 -^ h .. , J r2 -h .-T-J- TS ■+-•--!•

698. Les séries (2) et (5) sont très convergentes, dès que N est un peu considérable relativement à z.

Proposons-nous, par exemple, d'évaluer le degré d'approximation que l'on obtient en s'arrêtant dans la série (5) à un certain terme.

.Négligeons, dans la parenthèse du second membre, tous les termes qui suivent le terme de rang/? -h i ou le terme

VZ-V+1

L'erreur commise sera égale à

2/>-h3)(2N-+-r)2/'-» + ia/>-i-5)(2N-!-s)t|,'Hi 4",**j:

elle sera donc moindre que

^»[IH" nS-H;)« "*" (aX + s)* ~*~" J

ou, la parenthèse formant une progression indéfiniment dé-

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 697

croissante dont la raison est .— ^ -r> moindre que (Alg.

e/em., 342)

En désignant par E Terreur commise et en simplifiant, on aura donc, d'une manière générale,

(ip +- 3) aN(N -h :)(aN+^+l

Si Ton ne conserve que le premier terme de la parenthèse du second membre de l'égalité (5) [697], il faut faire dans ce qui précède p = o et Ton a, à la fois