N + 5) = /PH- E
et
6.\(N-+-~)(2JN +:) ou, afortioriy en négligeant s au dénominateur,
699. C'est en réalité au moyen de la série (7) [697] que Ton calcule les logarithmes népériens. En faisant d'abord dans cette série N = i,ona, puisque /. 1 = o,
2 2 On commence par réduire en décimales les fractions ô> ôï>
5î> «7 > • • •> en divisant par 9 les résultats successivement obtenus à partir du premier; puis, on divise respectivement les quotients correspondants par la suite des nombres impairs
En prenant les dix premiers termes du second membre, on obtient, avec dix décimales exactes,
En supposant N = 2, dans la même série (7), on a
On réduit d'abord en décimales les fractions *♦ êi> ^p
7^> •♦•? en divisant par 25 les résultats successivement obtenus
à partir du premier; puis, on divise respectivement les quotients correspondants par la suite naturelle des nombres impairs. On abrège le calcul en remarquant que, au lieu de diviser par 25, on peut diviser par 100 et multiplier par 4*
On a ainsi, avec la môme approximation et en conservant huit termes dans le second membre,
On obtient /.4, en doublant 1.2, et Ton trouve
En faisant N = 4 dans la série (7), il vient
, tf . , 2 2 2 2
On obtient les fractions -> —.> — > —.> • • •> en divisant par 3 9 93 95 97 les fractions déjà calculées ô> ôé> 09» 07?' • • •> et l'on n'a plas ]
qu'à diviser les quotients correspondants par la suite des nombres impairs. En conservant les six premiers termes du second membre, on a, avec dix décimales exactes, i
On a ensuite
En faisant N = 6 dans la série (7), on trouve l.y\ etc.
Calcul des logarithmes vulgaires.
700. Pour passer des logarithmes népériens aux logarithmes vulgaires dont la base est 10, il suffit de multiplier les pre-
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 0()[)
mi ers par le module relatif (506)
On a d'ailleurs
/. io — 1(2 . 5) = /. 2 -h l. 5,
c'est-à-dire, d'après ce qui précède (699),
/. io — 2,3o2585ck)3o
Il vient donc
Nous avons déjà donné (506) les valeurs de /. 10 et ~. — avec
l.io
quinze décimales exactes.
Si Ton multiplie maintenant par M les deux membres de l'égalité (7) [697], on a évidemment
I) log(N4-l) = l0gN4-2M -^ h ., , ' :+— - 4-,
' ov / o |aN H- 1 3(2iNh-i)* 5(2N + i)j
et c'est à l'aide de cette dernière série qu'on a établi les Tablés usuelles.
Les premiers calculs seuls sont pénibles.
En effet, lorsqu'on ne conserve que le premier terme de la parenthèse du second membre, il suffit évidemment, pour avoir une limite supérieure de l'erreur commise E,, de faire z — 1 dans la limite indiquée pour E au n° 698 et de la mulliplier par M. On a ainsi
Et<
Lorsqu'on ne conserve, dans la parenthèse du second membre de l'égalité (8), que les deux premiers termes, Terreur commise Et est moindre que
aM ["
5(2N-f-i)5L (aN-t-i)1 (aN + i)* ou que
aM 1 aM
5(aiNH-i)s 1 5(aN-hi)a(4Ni-h4iN)
ÔOO ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
On a donc, en simplifiant,
ioN(N-hi)(2N-hi)3 et, a fortiori,
M étant moindre que -> il résulte de la valeur de E, que,
dès qu'on est parvenu au nombre 101, il suffit de conserver les trois premiers termes du second membre de l'égalité (8), pour obtenir log(N -h i) avec dix décimales exactes; car on a
alors, en remplaçant M par ->
E,<~ nrj ou E,< -i--
ibo io10 io11
11 résulte de môme de la valeur de Ei que, dès qu'on est parvenu à 1001, il suffit de conserver les deux premiers termes du second membre de l'égalité (8), pour obtenir log(N +i) avec huit décimales exactes; car on a alors, en
remplaçant M par -*
E,<-7— z ou L,<— v 14 ioJ ioiw
Justification directe de l'emploi de la règle des parties proportionnelles dans les calculs par logarithmes.
701. Nous avons admis, en traitant des logarithmes arithmétiques (Alg. élém., 364 et suiv.), qu'il y avait proportionnalité entre les petits accroissements donnés aux nombres ei les accroissements correspondants de leurs logarithmes; et nous avons montré que, lorsqu'on opérait à l'aide de la partie la plus élevée des Tables, on arrivait ainsi à un résultat exact, à la condition de ne pas conserver plus de sept décimales dans l'expression des logarithmes et plus de sept chiffres significatifs dans celle des nombres.
C'est sur ce point que nous voulons revenir ici.
Nous avons trouvé (696), pour l'expression du reste de la
série (i) [697], dans le cas de x positif,
Ce reste a donc le signe de (— i)n, et sa valeur absolue es!
xn~*~l moindre que ; en désignant par 0t une quantité comprise entre o et i, on peut, par conséquent, le représenter encore par la formule
Qxxn+V
Il -+- ï
Si Ton se borne aux deux premiers termes de la série, en supposant x compris entre o et ï, on a donc, en faisant n = i,
En remplaçant x par ^ [équation (a), 697], il vient
(io) /(N -u 5) = /N 4-^-^1
ou, en multipliant les deux membres par le module relatif M pour passer aux logarithmes vulgaires (700),
(,i) iog(N + 5)-IogN = MQ-^.
Si Ton fait z = i dans cette relation, il faut substituer à 0, une nouvelle valeur Q\ aussi comprise entre o et ï, et Ton a
(i2) i0g(N + i)-logN = MQ-^).
Cela posé, représentons par <$ l'accroissement du logarithme du nombre N, quand ce nombre prend l'accroissement s, et par À la différence tabulaire correspondante. Nous aurons
log(N + 5)- logN = d et log(N -h i) — logN = A.
La proportionnalité admise (Alg. élém., 367) conduit»
c'est-à-dire à
0 = sA et s=T-
Si Ton désigne par £ l'erreur commise dans le calcul de log(N -h s) à l'aide des Tables et par Ç Terreur commise, réciproquement, dans le calcul du nombre N -h z si son logarithme est donné, on devra avoir en réalité
3 = s A -ne, s = j+Ç.
Remplaçons dans ces égalités 5 et A par leurs valeurs déduites des équations (i i) et (12), et il viendra
el, en simplifiant immédiatement la fraction -r>
Ç-~ A- " ^i ~ aiN-9; — saN— y,'
Puisque M est moindre que - et que les quantités s, 9„ 5,
sont comprises entre o et i; on a nécessairement, en représentant par ± e et ± Ç les valeurs absolues de s et de Ç,
±s<^ et ±R<^-
On voit donc que, si N est égal ou supérieur à 1000, comme dans le cas où Ton se sert des Tables de HoObl à cinq décimales (Trigon.9 122), Terreur ±.t est moindre que le quart d'une unité du sixième ordre décimal, tandis que Terreur
r relative ± « (Alg. élém., 370) est inférieure à une demiunité du même ordre, de sorte que Temploide la proportion
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 6o3
est légitime lorsqu'on se borne à cinq figures» soit qu'il s'agisse du calcul du logarithme d'un nombre donné ou de celui du nombre qui répond à un logarithme donné.
Si N est égal ou supérieur à 10000, comme dans le cas où l'on sert des Tables de Callet ou des Tables de Schrôn, édition française (Alg. élém.f 362), les erreurs dont il s'agit deviennent respectivement moindres que le quart et la moitié d'une unité du huitième ordre décimal; et l'on peut compter sur sept ligures exactes dans les deux calculs qu'on a à effectuer.
Développement des fonctions sin.r et eosx.
702. Nous avons démontré précédemment (641, 5°) que la dérivée d'ordre n de sina? était égale à
sin I x -\- /i- U
et que la dérivée d'ordre n de cosa? avait pour valeur
COS (a? -4- /l- J.
Il en résulte que les dérivées de sinx et de cosa? restent finies, quel que soit x.
D'ailleurs, on a vu (641, 4°) que les dérivées de sin.r reprennent périodiquement et indéfiniment les quatre valeurs
cos a?, — sin#, — cosj:, sin a?,
tandis que celles de cosa? reprennent périodiquement et indéfiniment les quatre valeurs
— sina?, — cosa?, sina?, cosa\
Les dérivées d*ordre impair sont, dans le premier cas, ±: cosa?; les dérivées d'ordre pair sont, dans le second cas, ^ cos x.
Pour x = o, les valeurs de la fonction sin a? et de ses dérivées forment donc une suite périodique ayant pour période
tandis que les valeurs de la fonction cos a: et de ses dérivées
6o4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
forment une suite périodique ayant pour période i, o, —i, o.
En appliquante formule de Maclaurin (684), on aura donc
(x x% xl smx = - h —.— — . . .
± ^—. =ji T : F"+l ( 9 JP).
cos.r=n i —
