Considérons encore la fonction
y = ¥(x) = arc tango:,
et cherchons d'abord l'expression générale de la nième dérivée.
En prenant les dérivées successives, on a immédiatement (613)
puis, de proche en proche (574),
(*) — ~(r+x*Y ~ fn-j?*)»'
Il est facile de continuer; mais la loi générale n'apparaît pas d'elle-même, et il faut suivre une autre marche pour la découvrir.
Partons de
6o6 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
et posons
x = cotcp.
Nous aurons, en même temps,
9 = arc cota?, d'où — = r = — sin1*
T dx i -4- x* T
et
j = rr- =810*9.
dx i4-cot*<p T
Nous trouverons donc successivement
d*Y dq> . • .
-r^ = 2 sui<pcos<p-T- = — sin'^amaf,
rf*r <afo . dm .
-t^3 =— 2S1119 cos(p^I-sin2(p — cos2 9.2-j-!-sin,9
= 2 sin*9[2 sin*9 cos*9 -4- (cos29 — sin*9) sin*9] = 2 sin39[3sin9COSs9 — sin*9],
c'est-à-dire (Trigon., 61)
cPy
-t-^ =1.2 sin*9 sin3<p,
d^ y d<D do
--t-~i = 1.2.3 sin,9COS9-jLsin39 4-1.2 cos 39.3-^- sin*©, -
= —1.2.3 sin*9[cos9sin3© -4- sin9 cos3?],
c'est-à-dire (Trigon., 53)
dky ^=-i.2.3sin*9sin49.
En poursuivant, on arrive évidemment à la formule générale
da y
-r-^ =Fn(x) = (— i)71-1 1.2.3. . .(/i — i)sinn9sin/i9.
D'ailleurs, de
dy 1 • ,
on déduit
sinn<p- - — -n,
et Ton peut écrire finalement
Fn(x)~ ^ sin(/i arc cota?),
(i-hx*)*
relation dans laquelle on fera /i = 2, 3, 4» • • -, n. On a directement F(o) = o et F'(o) = il
Cela posé, comme arc coto= - et que sin/i- est égal à o
ou à zhi suivant que n est pair ou impair (Trigon., 29, 11, 12), la formule de Maclaurin conduit ici au développement
(f) \ __ .r*»-*-1 sin[(a/i -hi) arccotô.r]
Il nous reste à chercher les conditions de convergence de la série.
On a, pour la valeur absolue du rapport d'un terme au précédent,
an + i 2/1
A mesure que n augmente, ce rapport, toujours moindre que x*9 tend donc vers x1 autant qu'on veut et est égal à xpour n infini.
Par suite, la série est convergente (389) lorsqu'on a x*< 1, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de x comprises entre — 1 et -4-1; et comme, dans cette hypothèse, le terme complémentaire de la série a zéro pour limite, lorsque n croît indéfiniment, le développement (1) représente bien arctang^.
La série est encore évidemment convergente pour les deux valeurs limites j? = — 1 et x=-hi (394).
Lorsque l'on a, au contraire, x1 > 1, c'est-à-dire lorsque x est plus grand que 1 en valeur absolue, les termes de la série ne diminuent pas en ayant zéro pour limite (397, 20) : le terme complémentaire n'a donc pas lui-même zéro pour limite, el la série ne peut pas être convergente (362).
Il faut remarquer que, à une valeur donnée de x, répon-
6o8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
dent une infinité de valeurs de la fonction considérée, arclangx (Trigon., 43); mais, parmi ces valeurs et dan* l'intervalle où la convergence existe, une seule se réduit à zéro quand x approche de o d'une manière continue : c'est
la valeur de arc langer comprise entre et h — > et c'est
celle-là que nous devrons choisir.
La série (i) a été donnée par Leibnitz, et elle porte souvent son nom.
Nous allons nous en servir pour calculer le rapport de la circonférence au diamètre (Géom., 227, 233 et suiv.)
Calcul de t.
