Dans la série

x .rz jr° .r7

(i) arctangir = ^ -+- h. . .,

supposons x-:i. La série demeure convergente (704), et Ton a

arctang.£=2 -•

Par suite,

Mais cette série converge trop lentement pour qu'on puisse l'employer au calcul de 7r. Nous allons donc déterminer d'autres expressions qui, par leur combinaison, nous permettront d'opérer beaucoup plus rapidement.

Posons, d'une manière générale,

arc lang/ — a, arc tang~ ~ b ou

tanga =J'9 langà = z.

11 en résulte

tanga -+■ tango v -+- ^

tang(a h- b) ■=.

oV~ „, j — tanga tang^ i — yzl c'est-à-dire (s) arc (a -î- b) ^ arc lang/ -h arc tang* — arc tang

Nous voulons avoir, par hypothèse,

arc tang/ -+- arc tang-s = 7 = arc tang i ;

ce qui, d'après la relation (2), entraine la condition

(3) - =1 ou y+-z = \ — VZ.

i—yz J

Par exemple, si Ton fait y = -, on trouve z = ^ , et l'on a

y = arc tang- -h arc tang y*

On obtiendra, comme il suit, la combinaison la plus avantageuse.

Désignons par Y l'arc dont la tangente est ^- Il viendra

( Trigon., 63)

2 tangY __ 5 __ 5

tang2Y=i

1 — tang- Y i 12

/v 2tang2Y G 120 1

tang4Y= . . v = = — =iH •

0 1 — tang* 2 Y ?2. !î9 ,f9

Ce résultat prouve que Tare 4 Y doft surpasser Tare T d'une

très petite quantité.

1 20 Remplaçons y dans la relation (3) par tang4Y ou par

On trouve alors

et, à cette tangente négative, correspond Tare — Z. On peut donc écrire

7 = 4Y — Z = 4arctangg —arc tang -5-.

Dfi C. — Cours. III. 39

6lO ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

La série (i) donne d'ailleurs

(4) 4Y==4ircUngJ = 4[5-^î + 5^i-^+...].

(5) Z = arc tang-*- = -s 5

Les séries (4) et (5), convergentes puisque les quantités T

et -5- sont moindres que 1 (70fc), le sont très rapidement,

surtout la seconde. Pour avoir 7c avec quinze décimales exactes, il suffit, en effet, de conserver onze termes dans la première série et d'en prendre trois seulement dans la seconde. On pourrait, dans cette hypothèse, aller jusqu'à la dix-septième décimale; mais, comme il faut multiplier deux fois par le facteur 4, d'abord pour avoir 4 Y, et ensuite pour avoir tt, on ne comptera que sur les quinze premières décimales, et l'on trouvera comme précédemment {Géom.)

it = 3, 1 4i 59 26535 89793

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 6l I