Soit une fonction de x de la forme

I! peut arriver que les deux termes de cette fraction deviennent ensemble nuls ou infinis, pour une certaine valeur de œ égale à x0. La fonction prendra alors la forme indéterminée - ou - (Alg. élém., 116 et suiv.). Nous nous proposons de calculer sa véritable valeur, c'est-à-dire la limite vers laquelle elle converge, lorsque x tend vers la valeur spéciale X0.

La difficulté peut être levée très souvent à l'aide du théorème suivant, auquel on donne habituellement le nom de règle de l'Hospital. On la trouve dans son Analyse des infiniment petits, publiée en 1696, et elle lui appartient sans aucun doute malgré une réclamation singulièrement tardive de Jean Bernoulli.

Voici l'énoncé de cette règle remarquable :

Si les deux fonctions /(x) et ¥(x) tendent simultanément vers zéro ou vers l'infini, lorsque x tend vers une valeur spéciale x0, et si les dérivées de ces fonctions restent en même temps déterminées, les deux rapports

tendent vers la même limite lorsque x s'approche indéfiniment de Xq.

707. i° Admettons d'abord qu'on ait/(x0) = oe*F(.r0) •= o. Nous avons démontré (636) la relation générale

/(*,+ h) -f(x0) f'(x>+ Oh) F(.r0-H h) — ¥(x0) ~~ F;(^0h- 0/i) '

où 0 est un nombre compris entre o et i. Elle s'applique précisément dans les conditions supposées, et elle devient, dans l'hypothèse indiquée,

F(x0+h) F'{x0-hQh)

Les fonctions /et F étant continues et leurs dérivées déterminées dans l'intervalle (xQ9 x0-\- h), faisons tendre h vers zéro. Les deux membres de l'égalité précédente resteront constamment égaux et auront, par conséquent (334), les mêmes limites pour h = o. On peut donc écrire

ce qui justifie l'énoncé précédent (706).

708. La démonstration que nous venons de donner exige que x0 soit une quantité finie, l'infini ne pouvant figurer dans les calculs comme une quantité déterminée (338).

11 faut donc examiner à part le cas de x0=qq. Nous changerons alors de variable en posant

et nous aurons

Si x tend vers l'infini, s tendra vers zéro, valeur déterminée. On peut donc écrire, d'après ce qui précède (707), en

6i3 sont des fonctions de fonc-

ALGEBRE SUPÉRIEURE.

remarquant que /(-) et F f - J tion de x (56k),

lim (M- Hm

:lim

c'est-à-dire

[pour -s = o],

f(x) ff(x)

limf&) = limFW) [P°«r * = <*]•

La règle reste donc la même.