a0 Admettons, en second lieu, qu'on ait /(a?0) = 00 et

On peut poser

et Ton voit que, pour x = x0i les fonctions v, v et -77 — - de-

viennent nulles toutes les deux. On peut donc encore appliquer la règle précédente (707) et écrire (564)

limfêHm

= lim

ÏÛflT

Si, pour a? = a?0, 1,; ; tend vers une limite finie L, diffé- *(<*) rente de zéro, on a donc (344)

" -.-ii-Z^-L)

lim

ou

L = Hm y'(Z) tpour * = x°^

6i4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Le théorème énoncé au n° 706 est, par conséquent, encore vérifié.

710. Il est nécessaire de montrer que la même conclusion subsiste, lorsque la limite L est nulle ou infinie.

Supposons-la d'abord nulle. Désignons alors par K une constante quelconque, et considérons la fonction

Puisque, par hypothèse, la limite de i,, : est nulle, la li-

mite de la fonction qu'on vient de former doit être égale à K. On peut donc appliquer la règle (709) et écrire

lim/(*) + KF(*) ,. /'(x) + KF'(,)

1,m F(x) -lim F(ï) -K*

II en résulte évidemment

f(x) Si la limite L de irj—4 est égale à l'infini, la limite du rap-

port inverse est zéro. On a donc, d'après ce qu'on vient de démontrer,

1,m7^)=1,rn77T^)=0>

et l'on en déduit immédiatement

,imF^)=00 = hmfej-

. 711. La règle de l'Hospital ne fait, en réalité, que reculer la difficulté; car il peut arriver que les dérivées /'(x) et F' (a;) soient aussi, ensemble, nulles ou infinies pour x=zx9f comme les fonctions f(x) et F(#) elles-mêmes.

On doit alors répéter l'application du théorème relativement à la nouvelle fonction

ALGEBRE SUPERIEURS* 6l5

en la remplaçant par le rapport

et continuer de la même manière si l'indétermination subsiste toujours.

Il faut donc généraliser comme il suit l'énoncé du théorème (706) :

Si les fonctions / (x) et ¥(x) sont simultanément nulles ou infinies pour x = x0} et que l'on soit obligé de poursuivre le calcul de leurs dérivées respectives Jusqu'à celles de l'ordre n9 afin d'en trouver au moins une qui ait une valeur finie différente de zéro pour x = x9, on a

1,mF(î)=limfc(F) tP°ur* = *o].

EXEMPLES