i° Soit l'expression
On demande sa véritable valeur pour x = a.
En appliquant la règle précédente, il vient (576)
xm — am mxm~l
hm = (pour x = a\
x — a i xr "
c'est-à-dire que la valeur cherchée est
mam~K
On peut facilement vérifier ce résultat, puisqu'on connaît le quotient de xm— am par x — a et qu'on a (14)
— — = xm-1 -+- axm~% h- a*xm-* -+-...-+- am~*x -+- am~l. x — a
Si l'on fait x = a, le polynôme du second membre se réduit bien à mam~l,
a0 Chercher la limite des deux rapports
sinx tango?
pour * = o,
6l6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
On a ici (598, 601)
.. sin.r .. cos.r
hm = lim [pour j- = o]= i,
lim — — = lim — ~[pour.r = o] = i.
Ce sont les résultats obtenus en Trigonométrie (Trigon., 104).
3° Soit l'expression
e* — er-* — a.r .r — sin.r
On demande sa véritable valeur pour x = o.
Nous serons forcé ici (711) d'appliquer successivement la règle jusqu'aux troisièmes dérivées. On a, en effet,
.. e*— e~x— ix .. ex-\-e~x — a o
hm : = lim [pour x = ol = - ;
x — sin.r î — cos.r Lr J o
puis,
v ex-he-*— i ,. ex — e~x o
hm = hm — : [pour x = o]= -;
i — cosx sinx Lr J o
et enfin
.. ex— c-x cx+e-x 2
hm — : = hm -» f pour x = o] = - •
sm.r cos-r Lr J i
La vraie valeur cherchée est donc égale à a.
4° Soit le rapport
ax
où a est une constante positive et n un entier positif. On demande sa véritable valeur pour x = oc.
Il faut appliquer successivement la règle (711) jusqu'aux dérivées d'ordre n.
On a, en effet, en supposant a plus grand que i,
.. ax axla . x
hm — =hm — -— - [pour x = x] = -; xn «x'*-1 Lr J 00
.. axla ,. ax(la)* r , oo
lim — — — hm — ' [pour x = x] = - ;
nxn~l n(n — i).r'*-* Lr J «
.. ax(lay-i .. ax(la)" r ,
hm —. r^ — '- — = hm \ ' [pour x = x] = x.
n(n — i)(n — a)., .ix i.a.3.../i Lr J
La véritable valeur cherchée est donc l'infini.
Si l'on suppose a plus petit que i, cette véritable valeur devient rfro.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. GlJ
5° Soit la fonction rationnelle (447)
axm-\- bxm-*-\- cxm-*-\-..:
Aar» ■+- Bar'1"1 -+- Cr"-* +. . . *
On demande sa véritable valeur pour x = oo (v/i£. dfe/w.t U9).
Il faut encore appliquer la règle (711 ) jusqu'aux dérivées d'ordre convenable, en distinguant trois cas.
i° On a m > n.
On prendra le rapport des dérivées d'ordre n des deux termes de l'expression. Le dénominateur sera devenu un nombre constant (325). et le numérateur contiendra encore x. La vraie valeur de la fonction, pour x = », sera donc l'infini.
2° On a m < n.
On prendra le rapport des dérivées d'ordre m des deux termes de l'expression. Le numérateur sera devenu un nombre constant, et le dénominateur contiendra encore x. La vraie valeur de la fonction, pour x = oc, sera donc zéro.
3° On a m = n.
On prendra le rapport des dérivées d'ordre m — n des deux termes de l'expression. Le numérateur sera devenu i.a.3.../na, et le dénominateur sera devenu i. a. 3. . .m A. La vraie valeur de la fonction, pour
x = », sera donc r- • A
En résumé, suivant que le degré du numérateur de la fonction rationnelle sera supérieur, inférieur ou égal au degré du dénominateur, la vraie valeur de la fonction, pour x = oc, sera l'infini, zéro ou le rapport des coefficients des premiers termes du numérateur et du dénominateur ordonnés suivant les puissances décroissantes de la variable.
Antres symboles d'indétermination.
713. Les autres symboles d'indétermination (Alg. élém., 118) peuvent, en général, se ramener aux précédents. C'est ce que nous allons montrer.
