II. — Cas oà la fonction se présente sous la forme

On a à considérer l'expression

et Ton suppose que, pour a? = a, on a f(a) = 00 et F(a) = ». La fonction y prend alors la forme indéterminée

y = op — 00.

Or, on peut écrire

(1) y= ' ' = Vît*)! ^ UW)\

\j{x)\ \JW)\ L/(*)F(*)J

et Ton a alors, pour x = a,

Il suffit donc encore d'appliquer la règle de l'Hospital à la fonction proposée mise sous la forme (1). Il est parfois préférable d'écrire

et de chercher la véritable valeur du quotient -^ — ^ qui,

pour x = a, se présente sous la forme — •

Si, en opérant ainsi, on trouvait que la véritable valeur de -~ — est l'unité, y se présenterait sous la forme o.oo, et Ton serait ramené au cas précédent (71&.).

716. III. — Cas où la fonction se présente sous l'une des formes o° 9 oo°, i".

On a à considérer l'expression

Si Ton suppose que, pour x = a, on ait F (a) = o et f{a) = o, la fonction y prendra la forme indéterminée

si Ton suppose F (a) = 00 et /(a) = 0, elle prendra la forme

enfin, si l'on suppose F(a) = i et /(a) = 00, elle prendra la forme

Pour trouver les vraies valeurs cachées sous ces nouveaux symboles, nous prendrons alors les logarithmes des deux membres de l'égalité (1). Il viendra

(2) log/=/(^)logF(^).

La question sera donc ramenée à chercher la limite de logy qui se présente évidemment, pour x = a et dans les trois hypothèses successivement indiquées, sous la forme

o(— 00) ou O.OO,

puisque l'on a (496)

logo = zpoo, logoo = ztoo, logi = o.

Nous rentrerons ainsi dans le premier cas (714).

EXEMPLES