Soit l'expression
y = xlx.
On demande la véritable valeur de la fonction pour x = o. On a alors
Nous écrirons donc (714)
et la fonction, mise sous cette forme, devient pour x = o. Par
suite (711),
lim y = lim -p-7^ =lim| -£^ |[pour x = 0]= lim( — ^)(^.=oj = 0-
limj = lim -=— Tr = lim I — - I [po [.rj L~ÏTJ
2° Soit l'expression
y = COt.r .
On demande la véritable valeur de la fonction pour x = o.
On a alors ( Trigon., 29)
y = ao — 00.
On écrira donc (715)
1 1 x — tang.r
i x x tang.r
cota:
et la fonction, mise sous cette forme, devient - pour x = o.
Par suite (711)
.. .. x — tang.r ,. cos*.r
lim y = lim — : — = lim
* xtangx . x B tangxH —
,. cos'jt — 1 r - o
= lim-: [pour x = o]= -•
smx cosx -+■ x Lr J o
Comme la limite de y se présente encore sous la forme -> il faut passer
aux dérivées du deuxième ordre, et Ton a
C08*x — 1 ,. — asinxcosx r ,
hmr = lim -: = lim — r r-r [pour x = o] = o.
J sinxcosx-f-x cos,x— sm1^-*- 1 Lr J
3° Soit l'expression
jr = e*—x.
On demande la véritable valeur de la fonction pour x = x.
On a alors
/ = » — », et Ton peut écrire
Pour x = », la fraction -^ se présente sous la forme — > et Ton a (71 1)
lim —i = lim — [pour x — »]= o.
11 en résulte (343)
lim/ = lime* lim I i -\ [pour x r = oc] = lim^"^--,, = *•
4° «&*/ l'expression (i) J = ^.
O/i demande la véritable valeur de la fonction pourx = o.
On a alors
Nous prendrons donc (710) les logarithmes népériens des deux membres de l'égalité (i), et il viendra
Ijr = je lx.
Mais, pour x = o, on a, d'après le premier exemple traité (i°).
lim./;/.r = o.
On a donc aussi
lim// = o.
c'est-à-dire, pour x = o,
lim y = i , comme au n° 513.
5° Soit l'expression
On demande la véritable valeur de la fonction pour x = *>. On a alors ! .
Nous prendrons donc (716) les logarithmes des deux membres de l'égalité (i), et il viendra
logj = ilog.r.
Pour x = oc, logj se présente sous la forme — • On peut donc poser (711, 585)
lim logj = lim — — =lim —2- [pour x = x] = o.
On a, par conséquent, pour x = oc,
Iimj = i, comme au n° 5 là.
On voit, en môme temps, que la vraie valeur de la fonction — — pour x = oo, est égale à zéro, comme on l'a déjà trouvé au n° 511. 6° Soit l'expression
y = VC08'r-
On demande la véritable valeur de la fonction pour x = o. Pour x = o, la fonction devient
mais on peut récrire
(i) j = cos-x',«r,
et, pour x = o, la fonction se présente alors sous la forme
En prenant les logarithmes népériens des deux membres de l'égalité (i) (716), on a
et la question est ramenée à trouver la limite de Ijr pour .r =s o. Comme on trouve, pour cette valeur de x,
Icosx o
on a (711)
— 8in.r
lim — r— sa hm " [pour o: — o]
lim
[sinx i 1 r t i
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 623
Si la limite de ljy pour x = o, est ? on a
limj = tf »=: — •
Cas particnlier8.
718. Il peut arriver que le rapport des dérivées se présente toujours sous forme indéterminée, à quelque ordre de dérivation qu'on parvienne, et que la règle ordinaire (711) demeure, par conséquent, impuissante. C'est ce qui aura lieu, notamment, lorsqu'il s'agira d'un rapport de radicaux.
Soit, par exemple, la fonction
mt
dont on veut trouver la véritable valeur pour x=i a. La fonction se présente alors sous la forme -• On a donc (711)
"six — a .. mVtx — a)"1-* v=:lim^= =hm — ^ '-
py(x*—a*y-1
.. /^(tf*— a1)*"1 r , o
= hm rvv [pourg = a] = -;
2mx v(a? — a)m~' .°
et, en continuant d'appliquer la règle habituelle (711), il est évident qu'on trouvera toujours le même symbole d'indétermination, puisque les radicaux ne disparaîtront pas.
Mais, si l'on cherche d'abord à simplifier l'expression de la fonction en la mettant sous la forme
(x — aY (x -+- a)P (x -+- ay
on voit immédiatement que la limite de y est zéro ou l'infini, suivant que/? est plus grand ou plus petit que m.
624 ALGEBRE SUPÉRIEURE,
719. Certaines fonctions deviennent indéterminées d'une manière complète, pour des valeurs spéciales de la variable, de sorte que la règle de l'Hospilal (711) est encore en défaut si Ton parvient, en l'appliquant successivement, à une fonction de cette nature.
Il faut alors avoir recours aux artifices que peut suggérer l'habitude du calcul.
Soil, par exemple, la fonction
x -h cos#
' v x — sm#
Pour 37 = 00, elle se présente sous la forme — > bien qu'on
ne puisse assigner alors aucune valeur à cos;r et à sina% qui demeurent, évidemment, complètement indéterminés.' Tout ce que Ton sait, c'est que, pour x = 00, cosa? et sinj? restent toujours compris entre — 1 et -4- 1.
Si Ton applique la règle (711) à l'égalité (i), il vient
.. .r-Hcos,r ,. 1 — sina? r
limy=lim : = hm [pour a? = ao],
J x — sina? 1 — cosa? Lr J
et, d'après ce que l'on vient de dire, on se trouve en face
d'un rapport absolument indéterminé, sans que ce rapport se
o 00 présente sous la forme - ou — •
11 faut, dans ce cas, reprendre directement l'expression (1) et la traiter par le procédé élémentaire, en divisant son numérateur et son dénominateur par x, avant de faire x = cc (Alg. élém.y 119). On a ainsi
coso?
sma?
et, comme smx et cosx ne peuvent pas surpasser 1 en valeur absolue, on trouve immédiatement, en faisant x = 00,
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 6â5
Fonctions implicites.
