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OA^a

736. VIL Problème de Fermât. — On suppose deux milieux physiques différents séparés par un plan indéfini P et, dans chacun de ces milieux, un point A et un point B. Un mobile, partant du point A et aboutissant au point B, se meut dans le premier milieu avec une vitesse uniforme u et, dans le second, avec une vitesse uniforme p. On demande de déterminer le chemin que doit suivre le mobile pour se rendre du point A au point B dans un temps qui soit un minimum (fig. 16).

On sait que, dans un mouvement uniforme, l'espace parcouru dans un temps donné est égal à la vitesse multipliée par le temps.

D* C— Court, m. 41

Il est évident, d'après cela, que, dans chaque milieu, le chemin parcouru, doit être rectiligne, puisque, les vitesses correspondantes étant constantes, les temps employés sont proportionnels aux chemins décrits. Le chemin total qu'on veut découvrir est donc une ligne brisée.

Fig. 16.

Il est facile de voir que cette ligne brisée est nécessairement dans le plan ACBD déterminé par les perpendiculaires AG et BD au plan P.

En effet, admettons que cette ligne brisée soit la ligne AEB non située dans le plan ACBD, et abaissons du point E où elle rencontre le plan P la perpendiculaire EF sur CD. Si Ton joint le point F aux points A et B, les triangles AFE, BFE, rectangles en F, montrent que le mobile parcourra le chemin AFB en moins de temps que le chemin AEB.

Supposons donc que la ligne brisée décrite par le mobile dans le temps cherché soit la ligne brisée AHB située dans le plan ACBD.

Nous poserons AC = a, BD =s b9 CD = c, CH = œ. Nous aurons, par suite,

AH = \Ja*+x\

et le temps employé à parcourir AH sera exprimé par

De même, nous aurons

HB = ^61+(c — a?)1,

et le temps employé à parcourir HB sera exprimé par

La fonction dont on doit trouver le minimum est donc

En égalant à zéro la dérivée de cette fonction et en simplifiant, on a évidemment

Pour résoudre cette équation, il faut la mettre sous la forme

uya*-\-xi vyb2-i-(c — x)1

et élever ses deux membres au carré. En chassant les dénominateurs, on obtient ensuite l'équation complète du quatrième degré

(us — V>*)xk — 2c(u* — v*)x*

*+■ [(a* + c1)^— (6, + c,)f!]^- 2ca*u*x-\- alcsw*=o,

qui est l'équation du problème.

Au lieu de chercher à la résoudre, menons par le point H la normale NN' au plan P. Désignons par i l'angle d'incidence AHN et, par ;•, l'angle de réfraction BHN'. La figure donne alors

. n.n • • CH X

sinCAH =smi == t™ = ■

AH sjaï + x*'

• TkTVTY • BH 'C X

smDBH = sinr = rrr= =

BH ^é»+(c a.)i L'équation (2) revient donc à

/OX sint sinr . sini u

(3) z= ou à -s — = ->

u v sinr v

et telle est la condition du minimum.

Il s'agit bien d'un minimum; car, en se reportant à l'équa-

tion (i), on voit immédiatement que, pour une valeur de x plus petite que celle qui répond à la condition exprimée par la relation (3), sini diminue en même temps que sinr augmente, tandis que l'inverse se produit pour une valeur plus grande de x; f'(x) passe donc du négatif au positif en iraversant zéro.

Il peut être intéressant de rapprocher cette solution des lois de la réfraction de la Lumière.

Maximums et minimums des fonctions implicites d'une seule variable.