Remarquons que Ton a, d'après l'équation (a
4L dy dx
dlè~ ~df'
dy 11 en résulte que, si les dérivées partielles -p- et -p s'an-
nulaient simultanément pour des valeurs de x et de y satisfaisant à l'équation (1) [737], les équations (2) et (3) se trouveraient à leur tour satisfaites, sans qu'on eût pour cela
dv
-£- =0, et les valeurs correspondantes de x ne répondraient
plus, en général, à la question.
739. Pour distinguer un maximum d'un minimum, il faut recourir aux dérivées d'ordre supérieur.
En différentiant l'équation (2) et en divisant par dx, on trouve (667)
dx* dx dy dx dy* dx* dy dx* 9
dy c'est-à-dire, puisque ~- est supposée égale à zéro,
dx* dy dxx
On en déduit
dv
d'y dx1
dx* ~ dJT'
dy
Le signe de cette secondé dérivée -r^» pour les valeurs
de x et de y qu'on étudie, tranchera la question. Le minimum
de y répondra à -3-^ > o et le maximum, à -j—^ < o [728].
d*f d*f Il est entendu que les quantités , J, et -j— [équation
(2 bis)] ne s'annulent pas pour ces mêmes valeurs de x et de /(738).
Si l'on avait -7-4=0, il faudrait consulter les dérivées ax*
d'ordre supérieur suivant la règle du n° 730.
7W). Exemple. — Soit la fonction implicite (0 f(x>y) =y*— 3*/ 4- x* = o,
dont on demande les maximums et les minimums.
646 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
On en déduit (737)
En combinant les équations (i) et (2) et en éliminant entre elles la fonction 7, on obtient évidemment
c'est-à-dire
x •=. o et x = y/ai.
Les valeurs correspondantes de y sont
/ = o et 7 = ^.
L'équation (1) donne d'ailleurs
Le premier système de valeurs {x = 0,7 = 0), annulant -j-> doit être rejeté (738). Quant au second système
(x=yi,y=yi),
qui n'annule pas -~-> il répond à un maximum ou à un minimum.
En formant (739) l'expression
d}y dx* 6x 20?
dx* ~~ ^~ "~~~ 3/* — 3# """"7* — x dy
on voit que la fonction y passe par un maximum pour
a? == {/a et que ce maximum est y/4«
741. Passons au cas général, et admettons qu'on ait à considérer m variables x, y, z, u, . . ., liées entre elles par les m — - 1 équations
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 647
Si Ton veut trouver les valeurs maximums et minimums de Tune des variables, y par exemple, on prendra Tune quelconque, x, des autres variables comme variable indépendante. La condition d'un maximum ou d'un minimum sera alors, dans le cas ordinaire,
dx
D'après cela, en différentiant les équations (i), en divisant
par dx et en supprimant tous les termes où entre -^-> on
aura
dx dz dx du dx '
( 2 ) [ dx dz dx du dx
dfm-x 4/V-i ffe + dfm-x du ^ z=Q dx dz dx du dx
En éliminant les m — 2 quantités ^-> -r-> • ••> entre les
m — 1 équations qui forment le système (2), on arrivera à une relation
entre les m variables considérées; et cette relation, jointe aux m — 1 équations qui forment le système (1), permettra de déterminer les valeurs de x, y, z, u, . . ., qui peuvent répondre à des maximums ou à des minimums dey.
1V1. Si Ton avait à chercher les maximums et les minimums d'une fonction explicite de m — 1 variables, telle que
(1) ç^zFiXyy^z, u, ...),
ces m — 1 variables étant liées par les m — 2 équations
Ift(x9y,z,u9 ...) =0, /«(*•/,-,", .-.) =0, • 9 fm-t(x,y9z,u, ...)—o,
ce cas particulier rentrerait dans le cas général (741).
En effet, on n'aurait qu'à joindre aux m — • 2 équations (2) l'équation (1) mise sous la forme
On aurait ainsi, comme dans le cas précédent, m variables *'» &>?> z> u> • • •> liées entre elles par m — 1 équations, avec cette unique différence que la variable v dont on veut chercher les maximums et les minimums ne se trouve que dans une seule des équations considérées.
743. Exemple. — On donne le volume d'un cylindre de révolution, et Von demande de déterminer ses dimensions de manière que sa surface soit un minimum.
Résoudre cette question, c'est obtenir pratiquement une capacité donnée sous forme cylindrique, avec la moindre dépense de matière.
On peut distinguer deux cas, suivant que le cylindre est ouvert ou fermé à sa partie supérieure.
i° Le cylindre n'a pas de couvercle.
Nous désignerons par V le volume donné du cylindre, par S sa surface, par x le rayon de sa base et par y sa hauteur. Les deux équations du problème seront
( iTixy-^-nx*— S = 0.
On a ainsi trois variables S, x, y, liées entre elles par les deux équations (i>, et il s'agit de trouver le minimum de S en prenant, par exemple, x comme variable indépendante. La condition du minimum sera alors
— = dx
Nous différentierons donc les équations (1), nous diviserons ensuite par dx et nous n'écrirons pas les termes conte-
nant -7- (741). Il viendra, en supprimant les facteurs communs 7T et 27T,
dy
2 xy -+- x* -f- = o, J dx
(2) < dy
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 6£g
dy En éliminant -j- entre les équations (2), on trouve facilement
(3) xy — x*=o ou x=y.
L'équation (3), jointe aux équations (1), permet de trouver les valeurs de x, de y et de S, qui répondent au minimum de S. Par suite de l'équation (3), les équations (1) deviennent
3nxi— S = o, et Ton en déduit
i = y = ^ 8 = 3,r^=3frV-
Pour vérifier qu'il s'agit bien d'un minimum , reprenons les équations (2), en conservant dans la seconde le terme
d'abord négligé ^-» et différentions-les de nouveau,
en divisant ensuite par dx. Nous aurons
dy dy d} y
J dx dx dx1
dy dy d*y 1 d*S
dx dx dx% 27: dx* '
c'est-à-dire
dy d*y 1 cPS
dx dx* 2 7T dx1
En éliminant -7-^ entre ces deux équations, on trouve
D'après la première des équations (2), on a <*r____27
65o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
L'équation (5) donne donc ou, d'après l'équation (3),
Cette valeur étant plus grande que zéro, les résultats précédents répondent bien à un minimum.
Ainsi, la surface du cylindre ouvert est un minimum quand sa hauteur est égale au rayon de sa base.
2° Le cylindre a un couvercle.
Les équations (i) sont ici
KX*y — Vmo,
