KXy -+- 2 7T#2 — S^O

En différentiant ces équations comme dans le premier cas et en supprimant le terme -r- qui doit être nul pour tout maximum ou minimum, on a

dy En éliminant -—• entre ces équations, on trouve

Les équations (i) deviennent donc

2 7T#Ï— V = 0, 4tc#*-J- 27^* — S — O,

et Ton en déduit

<*> * = ï = tfïï' 8 = 6,^ = J^iVS. En rétablissant dans la seconde des équations (2) le terme

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 65 I

d'abord supprimé -;-> en différentiant ensuite ces

rr 27T dx

équations et en éliminant entre les résultats obtenus -j^L,

dx*

on trouve finalement

J dx lit dx1

dy En remplaçant -p par sa valeur tirée de la première des

équations (2), on a donc

ûPS 27Tr , -

relation qui devient, d'après l'équation (3),

C'est donc encore à un minimum que conduisent les résultats précédents.

Ainsi, la surface du cylindre fermé est un minimum, quand sa hauteur est égale au diamètre de sa base.

Maximums et minimums des fonctions de plusieurs variables indépendantes.

744. Supposons une fonction de plusieurs variables indépendantes x, y, z, . . . , que nous représenterons par

vz=zF(x,y,z, ...)•

Soient x0, y0, zQl ..., des valeurs particulières de x9 y,

z, Désignons par h, k, l, . . . , des quantités aussi petites

qu'on voudra en valeur absolue, et pouvant varier de — C à -H C, en représentant par C une quantité positive aussi petite qu'on voudra.

Si l'on a constamment

F(*o, yo,z<» ...)>F(^o-+-A,.yo-t-Â:, -o-t-'> •••),

pendant que les accroissements h, k, l, . . . , parcourent l'intervalle (— C, -t- C) ou que x9 y, z, . . ., parcourent les inter-

valles (#o— C, #0+£)> (7o — ■ £$?•-*- Q> (*o — C, *<>-+-£),

la fonction v atteint un maximum, quand les variables xy y, z, ..., passent par les valeurs spéciales x0, y09 z0, ..., et F(x0, y0, z0} . . .) est ce maximum de v. Si Ton a, au contraire, constamment

dans les mêmes circonstances, la fonction v atteint un minimum, quand les variables x, y, s, . . . , passent par les valeurs spéciales x0, y0f z0, . . ., et ¥(x0f y0, ~o> • • •) est ce minimum de v.

Il est facile de trouver la condition générale, commune aux maximums et aux minimums, en revenant, comme il suit, aux fonctions d'une seule variable.

Admettons que v ou la fonction F atteigne un maximum

ou un minimum pour x~a, y = b, z=.c, ...; on pourra,

pour un instant, supposer que y, z, . . ., sont des constantes

b, c, . . ., et que x seule varie. La fonction F deviendra une

fonction d'une seule variable x; et, puisque, par hypothèse,

elle passe par un maximum ou par un minimum pour x = a,

dF on devra avoir pour cette valeur Fi ou -r- nulle, infinie ou

discontinue (727). Le plus souvent (728), la dérivée -r-

change de signe, en s'annulant et en restant finie et continue. Le même raisonnement pouvant être répété pour les autres variables/, z, . . ., on voit que les valeurs de x, y, s, . . ., qui rendent v ou la fonction F un maximum ou un minimum, doivent être cherchées parmi les valeurs qui rendent les dé-

. „ dF dF dF /,./.• j.

nvees partielles -j-y -t-> -j^> •••> nulles, infinies ou discontinues ou y le plus souvent, parmi celles pour lesquelles ces dérivées changent de signe en sy annulant et en restant finies et continues.

74.5. Lorsque ces dérivées partielles demeurent continues dans Tintervalle considéré, on peut retrouver le même résultat par la série de Taylor, et s'en servir ensuite pour distinguer entre les maximums et les minimums.

Pour plus de simplicité dans récriture, nous supposerons seulement trois variables indépendantes.

La série de Taylor peut s'écrire (686, 687), en n'allant pas au delà des premières puissances des accroissements,

F(jPH-/i>^ + *,5H-/)-F(^,/f5) = ^AH-^* + ^/+R.

Pour des valeurs absolues infiniment petites de A, ky l, le reste R est négligeable devant les termes qui le précèdent, toutes les fois que ces termes ne sont pas nuls. Or , ces termes, dont l'ensemble détermine alors le signe du second membre et, par suite, du premier membre de la formule, changent de signes sans changer de valeurs quand on remplace A, k, l, par — A, — k, — /. Il en résulte que le premier membre change lui-même de signe, quand on traverse les valeurs supposées de x, y, z, et que ces valeurs ne peuvent répondre à aucun maximum ou minimum.

Pour que la fonction F puisse atteindre un maximum ou un minimum, il faut donc qu'on ait, à la fois,

dF dF dF

dx dy dz

C'est la conclusion déjà énoncée (744).

Il nous reste à chercher à quels caractères on peut reconnaître un maximum ou un minimum.

Nous considérerons successivement une fonction de deux variables et une fonction de trois variables indépendantes,

746. Cas d'une fonction de deux variables. — Soit la fonction

En n'allant pas au delà des deuxièmes puissances des accroissements, la série de Taylor peut s'écrire

= ["— A-h— *l + -["— A* a d}¥ hk —kA R ~~[^dx dy J 2 L dx* dx dy dy% J

Supposons que x et y reçoivent des valeurs telles, que l'on

ait à la fois

dF __ dF

dx ' dy

654 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

Ces valeurs pourront correspondre alors à un maximum ou à un minimum de la fonction F.

Pour décider, nous remarquerons que le signe du second membre de la formule et, par suite, de son premier membre, sera, dans l'hypothèse admise, le même que celui du trinôme du second degré

Il faut donc, pour qu'il y ait maximum, que la valeur de ce trinôme reste constamment négative, quels que soient les signes et les valeurs absolues des accroissements h et k, pourvu que ces valeurs soient suffisamment petites; pour qu'il y ait minimum, il faut que la valeur de ce trinôme reste, dans les mêmes conditions, constamment positive (7b&).

Pour n'avoir qu'une variable, nous poserons k = ph, en désignant par p le rapport algébrique, d'ailleurs arbitraire, établi entre k et h. Le trinôme (i) pourra alors s'écrire, en faisant abstraction du facteur h* toujours positif et en renversant l'ordre des termes,

cPF . rf*F d*Y

(»> dpP'^2a^ày^^'

Or ce trinôme, du second degré par rapport à p, n'aura que des valeurs négatives, si le coefficient de son premier terme est négatif et si, lorsqu'on l'égale lui-même à zéro, les racines de l'équation correspondante sont imaginaires (Alg. élém., 252).

Les conditions du maximum sont donc (Alg. élém.y 237)

dy* < °' \dx~ay\ ^T* ^i < °-

rf»F d*F dy1 dx1

Le même trinôme (2) n'aura que des valeurs positives, si le coefficient de son premier terme est positif et si, lorsqu'on l'égale lui-même à zéro, les racines de l'équation correspondante sont encore imaginaires.

Les conditions du minimum sont donc

rf»F [ d*F H» d»F d*F

dy*>0' Idxdy] dy*dx*<0*

On voit aisément que, dans les deux hypothèses, -r-^ et

et1 F

-t— , ont nécessairement le même signe.