Si les trois dérivées partielles du deuxième ordre

d*V d*F d*F dx** dx dy* dy1*

devenaient nulles en même temps que celles du premier ordre, pour les valeurs attribuées à x et à y, les raisonnements précédents (745) montrent qu'il n'y aurait ni maximum ni minimum de la fonction, si les termes du troisième ordre subsistaient.

Si les quatre dérivées partielles du troisième ordre

d>F d*F cPF d*F

dx* ' dx1 dy ' dx dyi dy* *

s'annulaient, il faudrait considérer les dérivées partielles du quatrième ordre, et il y aurait maximum ou minimum, si l'ensemble des termes correspondants conservait un signe invariable.

En poursuivant, on formulera aisément une règle analogue à celle qui a été donnée pour les fonctions d'une seule variable (730). Nous ne nous y arrêterons pas.

748. Cas d'une ponction de trois variables. — Soit la fonction

Supposons que x, y, z, reçoivent des valeurs telles, que l'on ait à la fois

dF dF dF

dx ' dy ' dz

Ces valeurs pourront correspondre alors à un maximum ou à un minimum de la fonction F.

En n'allant pas au delà des termes du deuxième ordre et dans l'hypothèse admise, la série de Taylor pourra s'écrire,

en effectuant (687), F{x -I- /*, y 4- ky z + /) — F(.r, /, s)

2 L dx% dy% dz*

d*F dsV d*F 1

-+- 2 -i -7- hk + 2 - - fil -h 2 -7—7- * :i "+• Rt

a x a/ aa? a 5 ay a z J

R disparaissant encore devant les autres termes du second membre, pour des valeurs absolues de h, k, /, suffisamment petites.

Pour qu'il y ait maximum ou minimum, il faut donc que le polynôme qui précède R dans le second membre de la formule conserve, dans ces conditions, un signe invariable.

Posons, pour simplifier,

<*F -a ±1 -A' tl -A' 1& —A' dy* A' dz* — A'

«(yrfs ' dxdz ' dxdy

et écrivons en même temps

Nous aurons ainsi, pour le polynôme considéré, en mettant h} en facteur,

iA2[A4-A/p2-hA'rcr,+ 2B,rpH-2B,cr-H2Bpa]

ou, en laissant de côté le facteur \h* dont le signe est invariable et en ordonnant par rapport à p,

Ay+2(B<x + B')p-+-(AiV.4-2B'cr-+-A).

Quels que soient les rapports arbitraires p et ?, il y aura maximum ou minimum, suivant que la valeur de ce polynôme sera constamment négative ou positive.

Or, en le regardant comme un trinôme du second degré en p, il en sera ainsi si Ton a

A'< o (pour le maximum), A' > o (pour le minimum),

en même temps que

(B* + B')«— À'(À'**+aB'flr-HÀ)<o. .

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 65j

Or, la seconde inégalité, qui doit avoir lieu quel que soit <j, revient à

(BI-A,A/f)(7,-H2(BB,r-A,B/)c7-t-(Bfî-AA')<o.

En regardant le premier membre de cette inégalité comme

un trinôme du second degré en <r, elle sera satisfaite, si Ton

a à la fois

(ce qui entraîne, d'après le signe de A', la condition A,;<o pour le maximum et A* > o pour le minimum), et

(BB'— À'B')1 — (B* — A'A")(B"*-ÀA')<o

(ce qui entraîne Bffî — ÀÀ'<o et, par suite, A<o pour le maximum et A > o pour le minimum).

La dernière inégalité développée donne, en simplifiant et en divisant ensuite tous les termes par le facteur commun A',

ABî-t-A'B"-hA'rBffî-AA,A" — 2BB'B">o,

suivant qu'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum; car, dans le cas du maximum, on a A'< o, et il faut, en divisant par À', renverser le sens de l'inégalité (Alg. élém., 215). Ainsi, les conditions du maximum sont

À'<o, B1— À'À'<o, AB» 4- A'B" -h A'B"1 -A A' A" — 2BB'B">o,

et celles du minimum sont

A'>o, B»-A'A'<o, AB«4- A'B' + A'B"*- AA'A'- 2BB'B"< o.

On voit donc que la condition

doit être remplie, aussi bien pour un maximum que pour un minimum; et, ensuite, que les trois coefficients A, A', A", doivent avoir ensemble un signe contraire à celui de l'expression

AB» + A'B'»4-AirB"-AA'A'-2BB'B',

leur signe commun étant moins pour un maximum et plus pour

un MINIMUM.

Di C. — Court. III. 4a

658 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

Nous ne considérerons pas un plus grand nombre de variables indépendantes.

Il arrive d'ailleurs souvent qu'on décide entre le maximum et le minimum, en s'aidant de considérations particulières fournies par la nature du problème à résoudre.

749. Il n'est pas inutile de remarquer que, si toutes les dérivées partielles d'un certain ordre sont nulles, la différentielle totale du même ordre est nulle, puisqu'elle est la somme des produits respectifs des mômes dérivées par les accroissements arbitraires attribués aux variables correspondantes.

Réciproquement, ces accroissements étant indépendants les uns des autres, si la différentielle totale d'un certain ordre est nulle, toutes les dérivées partielles de cet ordre sont également nulles.

On peut donc résumer tout ce qui précède (747) en disant que, pour qu'une fonction atteigne un maximum ou un minimum, il faut que la première différentielle totale qui ne sf annule pas pour les valeurs attribuées aux variables soit d'ordre pair, et qu'elle conserve un signe invariable, qui sera le signe moins dans le cas du maximum et le signe plus dans le cas du minimum.

Applications.

750. i° Inscrire dans une sphère donnée, de rayon r, un para lié lipipède rectangle dont le volume soit un maximum.

Désignons par 2x, 2y, 2z, les arêtes latérales du parallélépipède. Son volume V aura pour expression

(i) \=Sxyz.

Chacune de ses diagonales étant un diamètre de la sphère circonscrite, on a, en divisant par 4 les deux membres de l'égalité,

Il en résulte

Si V est maximum, il en est de même de V*. La fonction dont on doit chercher le maximum est donc finalement, eu

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 65g

supprimant le facteur constant 64,

(3) F(x,y) =zx*yi(ri — x*— y*) = r* x1 y* — x'* y* — x* yK

C'est une fonction de deux variables indépendantes x et y.

Pour appliquer les résultats précédents, nous commencerons par chercher ses dérivées partielles du premier et du deuxième ordre. Nous obtiendrons ainsi

= 2 r* xy1 — 4 «^ 3 v2 — 2 a?j* ,

dxdy dTY

= 2r*y* — 12 x* y* — 2j4, — {\r*xy — 8x*y — %&yl,

Égalons à zéro les dérivées partielles du premier ordre. On peut supprimer, dans la première équation, le facteur commun 2xy* et, dans la seconde, le facteur commun 2x*y. Les solutions correspondantes, #=o et y — o, ne conviennent pas, évidemment, à la question proposée.

Nous aurons donc simplement à considérer le système

/•* — 2X1 — y*=of r* — x* — 2y* — o.

Il conduit, en tenant compte de l'équation (2), à *=, = *= -J-.

Le parallélipipède rectangle inscrit dans la sphère donnée, et dont le volume atteint un maximum, est donc le cube qui a pour arête le tiers du côté du triangle équilatéral inscrit dans un grand cercle de la sphère.

C'est ce que nous allons vérifier. Pour qu'il en soit ainsi, il faut que les valeurs trouvées pour x, y, z satisfassent aux deux inégalités (746)

*I f <**F ~12 ^F rf»F

dy* K °' L^ <*y J dy* dx* < °'

d¥ dx dF

rf»F

2rxx*y — 2x% y — ^xlyzy \

-j—ji z=z2r*X* — 2X% — V2X"Yt.

dy~ J |

66o ALGEBRE SUPÉRIEURE.

On trouve, successivement, pour ces valeurs,

rfy1 rfj?2 9 ' dxdy 9

La seconde inégalité se réduit donc à 7.8__,.s<0>

et Ton a bien un maximum.

751. Le théorème connu sur le maximum du produit d'un nombre quelconque de facteurs positifs variables dont la somme est constante (Alg. élém., 292) nous aurait conduit bien plus rapidement à la solution de la question, que la méthode générale que nous venons d'appliquer.

Nous avons, en effet (750),

x* -H y* -+- ~* = r- = const., et la fonction dont il faut déterminer le maximum est V*

Il faut donc, d'après le théorème rappelé, qu'on ait

c'est-à-dire, puisqu'il s'agit de quantités essentiellement positives,

On peut d'ailleurs retrouver comme il suit, en les étendant, les deux théorèmes si utiles démontrés précédemment sur les maximums d'un produit dont la somme des facteurs simples est constante {Alg. élém., 292, 297).

752. 20 Partager un nombre A en m parties x, y, z, ..., r, telles que le produit

(1) Q = xPy*zr...vi

soit un maximum, les exposants p9 q, r, . . . , t, étant des nombres positifs donnés, entiers ou fractionnaires.

On a l'équation de condition

et, pour que le produit 9 atteigne un maximum, il faut qu'on ait (7W)

(3) d9=zo.

En appliquant le théorème des différentielles logarithmiques (573) à l'équation (i), il vient évidemment

Jt% . . . d9 dx dy dz dv

(3 bis) -7ë- — p h?— 4-r h.. .4-* — •

l On a, en effet, en simplifiant, — - = p ]

D'ailleurs, l'équation (2) peut s'écrire

y — A — x — y — z— ..., d'où

. , N dv — dx — dv — dz — ...

La valeur de -75- devient donc

/Ef. d9 dx dy dz dx 4- dy 4- dz 4- . . .

(5) ^=P^^lf + '--+...-tK/y z ^

et l'on a en même temps, en différentiant de nouveau (3 bis),

Si l'on fait maintenant d9 = o dans l'équation (5), pour arriver au maximum ou au minimum de 9, on a

, x cfo? */r dz dx -h dy -\- dz 4- . . .

y" r x ly z k — x—y-—z — ...

6'Ô2 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

Cette équation sera évidemment satisfaite si Ton a

ou, en renversant et d'après la relation (2),

(8) -=Z = -z=...= j=z - (Alg.élém.,Ga).

Il faut donc, pour avoir les valeurs de x} y, z, . . ., v, qui répondent au maximum de <P, partager le nombre donné A en parties proportionnelles aux exposants respectifs p, q, r, . .., t [Arithm., 430].

C'est bien un maximum de $ qu'on obtient ainsi (749); car, pour ces valeurs, en vertu de l'équation (6) et à cause de d<£ = o, on a nécessairement

Si l'on suppose /? = ^ = r = ... = f = i, le maximum du produit

<?, =zz xyz . . . v

s'obtient donc en prenant les m facteurs égaux entre eux et à — (Alg. éUm.,992).

Maximums et minimums des fonctions implicites de plusieurs variables indépendantes.