Supposons n équations renfermant n-\-p variables

x, y, z9 .. ., v, w, Ces équations formeront un premier

système

!' f\{x,y, -,-.., r, w, . ..} = o, A UN/» *,..., «>, «s . .) = o, j

\ fn(x,y> -,.-., i% <*, ...) — O.

Parmi les n-k-p variables, nous pourrons alors en regarder /?, telles que x, y, z, . . ., comme indépendantes, et les n autres variables, telles que v, «% . . ., seront des fonctions des premières, définies par le système (1).

Admettons qu'on veuille trouver spécialement les maximums ou les minimums de la fonction v.

Nous différentierons les équations qui forment le système (i), et nous obtiendrons un nouveau système de n équations, qui sera

dx dy J dz dv dw

(2) ^ dx dy J dz dv dw

dx dy s dz dv dw

Dans ces équations, dx, dy, dz, .. ., sont des constantes, et dv, dwy . .., sont les différentielles totales des fonctions v, w, ....

Entre les n équations (2), nous éliminerons les n — 1 différentielles totales des fonctions w, ..., autres que la fonction v, en tenant compte immédiatement de la condition dv = o, qui répond aux maximums ou aux minimums de cette dernière fonction (749).

Nous. parviendrons de cette manière à une équation de la forme

(3) pdx-hQdy+Rdz-h... = o,

où P, Q, R, . . . , seront des fonctions des variables indépendantes x, y, z, Comme les constantes dx, dy> dz7

n'ont entre elles aucune dépendance, l'équation (3) se résout en un nouveau système dep équations

En réunissant les systèmes (1) et (4), on obtient n-\-p équations pour déterminer les valeurs des n-{-p variables, ;

qui répondent aux maximums ou aux minimums de la fonc- !

tion v spécialement considérée.

Pour reconnaître si les valeurs trouvées ainsi pour v sont des maximums ou des minimums, il faudra calculer la différentielle seconde d*v et voir si elle conserve toujours le même signe et quel signe (749). i