PREMIÈRES NOTIONS SUR LES INTÉGRALES

Définitions et théorèmes fondamentaux.

755. Dans ce qui précède, nous avons étudié les différentielles des divers ordres des fonctions quelconques d'une ou de plusieurs variables, et les questions analytiques qui s'y rattachent. Nous ne pouvons terminer sans dire quelques mots des intégrales.

Le Calcul intégral est l'inverse du Calcul différentiel, et il a pour but, d'une manière générale, la recherche des fonctions d'après leurs différentielles.

Nous nous bornerons, dans ce Chapitre, à exposer les principes fondamentaux de ce calcul inverse et à indiquer rapide* ment les méthodes d'intégration les plus simples, afin de pouvoir les appliquer au besoin en Géométrie analytique (t.V).

Il ne s'agira, bien entendu, que de fonctions d'une seule variable.

756. Considérons d'abord une courbe quelconque AB, rapportée à des axes rectangulaires Ox et Oy (fig. 17).

L'aire comprise entre une ordonnée fixe AC, une ordonnée quelconque MP, Tare de courbe correspondant AM et l'axe 0 x, est nécessairement une fonction de l'abscisse a? = OP du point M, puisqu'elle varie avec la position du point P, le point M variant alors lui-même sur la courbe.

Si l'on désigne par u l'aire ACPM, l'aire MPP'M', qui répond à l'accroissement ùlx = PP' de x, sera à son tour A«.

Menons respectivement, par les points M et M', des parallèles MI' etM'I à l'axe Ox, jusqu'à la rencontre des ordon-

nées M'P' el MP, et supposons, sans que cela soit absolument nécessaire à la démonstration, que les points M et M' sont assez rapprochés pour que l'ordonnée y de la courbe varie toujours dans le même sens de l'un à l'autre. Nous aurons évidemment I'M' = A/, et Taire A« sera comprise enlre

Fig. i-

les aires des deux rectangles M PPT et IPP'M'. On pourra donc poser (dans le* cas de la figure)

y Ax < ùlu <(y -h ÙLy) ùlx,

c'est-à-dire, en divisant par ùlx,

ùlu A

ou, en passant à la limite, et ùlu comme ÙLy tendant vers zéro en même temps que ùlx (534-),

du

di ~y

et

du — y dx.

On arrive ainsi à ce résultat qu'il importe de retenir :

Les axes étant rectangulaires, la dérivée de l'aire d'une courbe, entendue dans le sens indiqué, est, d'une manière générale, égale à l'ordonnée de cette courbe.

Si, au lieu d'employer des axes rectangulaires, on employait des axes obliques faisant entre eux l'angle 0, les deux rectangles qui comprennent l'aire ùlu seraient remplacés par deux parallélogrammes ayant leurs côtés parallèles aux axes et ayant pour aires respectives ( Trigon., 153)

yAxsind et (y -+- Ay) A#sin0.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 66j

On trouverait donc, dans cette hypothèse,

— — ysinô et du =z y dx sin 0.

757. Passons à la recherche de Taire totale comprise entre les deux ordonnées fixes AC et BD, Tare de courbe correspondant AB et Taxe Qx (Jîg. 18).

Fi$. 18.

VP'

Divisons la portion CD de Taxe Qx en n parties, égales ou inégales, mais devenant toutes infiniment petites quand n devient infiniment grand. Sur ces divisions comme bases et avec les ordonnées correspondantes de la courbe, construisons des rectangles intérieurs et extérieurs à cette courbe AB, comme l'indique la figure. Par exemple, sur la division PP' qui répond à l'aire curviligne MPP'M', nous obtiendrons le rectangle intérieur MPPT et le rectangle extérieur IPP'M'.

L'aire ACDB est, à la limite, la somme d'un nombre infiniment grand de parties infiniment petites, telles que MPP'M'.

Or, les deux rectangles MPPT et IPP'M', qui comprennent entre eux Taire curviligne MPP'M', ont même base, et leur rapport est celui de leurs hauteurs MP ou y et M' P' ou y -h A/. Ce rapport, à la limite, est donc égal à Tunité, et il en sera de même, a fortiori, du rapport de Taire MPP'M' à celle de l'un des deux rectangles.

On a, par conséquent, le droit, d'après le second principe fondamental de la Méthode infinitésimale (529), de remplacer, dans la recherche qu'on poursuit, Taire MPP'M' et toutes les aires analogues par celle de Tun des deux rectangles qui les comprennent respectivement. En choisissant,

par exemple, le rectangle intérieur dont Faire est exprimée par/ ùlx, on aura

jc=OD

aire ACDB = u = lim V y Ax.

x = OC

La caractéristique V indique, comme à l'ordinaire, la

somme de toutes les quantités analogues au produit ybx contenues dans l'intervalle déterminé par les valeurs extrêmes de x, c'est-à-dire par OC et par OD.

Nous avons supposé (Jîg* 18) que l'ordonnée de la courbe AB croissait constamment dans l'intervalle considéré. Si l'ordonnée était constamment décroissante, le même raisonnement subsisterait. Comme on peut, d'ailleurs, partager Taire totale à évaluer en portions pour lesquelles l'ordonnée de la courbe varie toujours dans le même sens, le raisonnement précédent s'applique finalement à un arc de courbe présentant, relativement à son ordonnée, des alternatives quelconques de croissance et de décroissance.