Reprenons l'expression

r=OD

u =z lim V y Ax,

jr=OC

et faisons croître n indéfiniment.

ùlx deviendra infiniment petit, et l'on pourra le remplacer par dxy puisque ce sera l'accroissement infiniment petit de l'abscisse. On aura ainsi ydx, différentielle de u [756], au lieu de y ùlx. En même temps, on remplacera la notation

par la notation

lim V y kx >c

ydx,

x = OC =OD

jr=OC

qu'il faut lire somme intégrale ou Intégrale de tous les éléments différentiels de Taire u.

.r=OD

L'expression V y ûlx n'indique qu'une valeur approchée

x=OC

de l'aire ACDB, et elle ne devient exacte qu'à la limite. L'ex-

pression / ydx représente exactement l'aire ACDB ou

la somme complète de ses éléments, et c'est pour cela qu'on donne le nom à? intégrale à cette seconde expression.

L'ordonnée y de la courbe AB étant aussi une fonction de x que l'on désignera par f{x), on peut, en posant en outre OC = x9 et OC = xu écrire l'intégrale précédente sous la forme

f(x)dx.

Comme les limites en sont indiquées, cette intégrale est dite une intégrale définie, prise depuis l'abscisse x0 jusqu'à l'abscisse xlm

Par convention, on place la limite inférieure au bas du

signe / et, la limite supérieure, au haut de ce signe.

Calculer, au point de vue où nous nous sommes placé, une intégrale définie, c'est effectuer une quadrature, puisque c'est déterminer une aire telle que ACDB, ou le carré équivalent à cette aire.

759. Le problème qu'on vient de traiter donne la solution de la question posée par le Calcul intégral (755), solution qui, d'une manière générale, existe toujours.

En effet, si/(#) est une fonction réelle de la variable indépendante x, supposée continue entre les limites fixes x0 et a?,, on pourra toujours trouver une fonction ayant pour différentielle/(a:)fifce ou pour dérivée /(^c), entre les mêmes limites. Il suffira pour cela de construire (yi^. 19) la courbe AB, dont l'équation ou l'ordonnée est

Si Ton mène alors les ordonnées CA et PM qui répondent à l'abscisse fixe x0 et à une abscisse variable x comprise entre #0= OC et xx= OD, l'aire ACPM sera (756, 758) une

fonction F(x) ayant pour différentielle f(x)dx ou pour dérivée/(a?), entre les mômes limites.

Fig. 19.

Nous énoncerons donc ce premier théorème : 1. La limite de somme représentée par

f(x)dx

est une fonction de la variable x ayant pour différentielle f(x)dx ou, pour dérivée, f(x).

On peut l'exprimer en écrivant (1) df f(x) dx — f(x) dx ou D f f{x)dx—f{.r\

La limite inférieure x0 étant fixe, on a une intégrale définie (758), si la limite supérieure xt est également fixe. Si cette limite supérieure demeure variable, on dit, simplement, que l'intégrale est prise à partir de x0.

760. Quand on donne une fonction, quelle qu'elle soit, sa différentielle ou sa dérivée est, comme on Ta vu, complètement déterminée.

Le problème inverse admet, au contraire, un nombre illimité de solutions; et Y intégrale d'une différentielle f(x)dx est susceptible d'une infinité de valeurs.

Supposons, en effet, qu'une fonction F (x) ait pour différentielle f(x)dr. Si Ton ajoute à cette fonction une constante arbitraire C, la nom elle expression

Y(x)-hC

aura la même différentielle, puisque toute constante disparaît dans la différentiation d'une somme (568). Et, comme deux fonctions qui ont la même différentielle ne peuvent précisément différer que par une constante (549, 543), toutes les fonctions qui répondent à la question seront comprises dans l'expression générale

On pouvait s'attendre, d'après ce qui précède, à cette indétermination spéciale; car nous avons choisi, aussi arbitrairement (759), l'abscisse fixe x0 ou OC. En partant {fig. 19) de l'abscisse OC, on aurait obtenu une aire différente A'C'PM, ayant encore pour différentielle f(x)dx.

L'expression générale

est dite I'intégrale indéfinie ou, simplement, I'intégrale de la différentielle f(x)dx9 et on la représente, sans indication de limites, par la notation

' f(x)dx.

Nous résumerons ce que nous venons de dire dans ce deuxième énoncé :

II. Lorsque l'on a trouvé une fonction V(x) dont la différentielle est f(x)dx ou la dérivée f(x), pour toute valeur de x comprise dans un intervalle déterminé, on obtient toutes les' fonctions qui jouissent de la même propriété en ajoutant à la première ¥(x) une constante arbitraire C.

Des intégrales définies. — Élimination de la constante.

761. Toute intégrale définie est évidemment comprise dans l'intégrale indéfinie correspondante, et répond à une certaine valeur de la constante arbitraire C.

Ordinairement, le problème posé permet de connaître quelle valeur X0 la fonction générale F(x) + C doit prendre pour une certaine valeur x0 de la variable x. On peut alors éliminer immédiatement la constante, puisque l'on doit avoir

F(*0)-+-C — X0, d'où C = X0— F(*0)f

et la fonction générale devient

Le plus habituellement, elle doit s'annuler pour x = x9t on a alors X0= o, et elle prend la forme

On peut écrire, dans ce cas, sans constante arbitraire

V(*)*p = F(j?) — F(ar.)f

et cette expression est celle de Taire ACPM {fig. 19), xQ répondant à l'abscisse fixe OC, et l'abscisse x = OP restant variable.

Si l'on donne à x la valeur déterminée xx = OD, l'intégrale devient elle-même complètement déterminée, c'est-à-dire que l'on a l'intégrale définie de la différentielle f(x)dx

f '/(*)*» =F(*,)-F(ar,),

prise depuis x —x^ jusqu'à x=zxlf et avant pour valeur l'aire ACBD.

Nous pouvons donc énoncer ce dernier théorème fondamental, conclusion de tout ce qui précède :

III. L'intégrale définie de la différentielle f(x)dx, prise de x = x0 à x = xiy est la limite vers laquelle tend la somme des valeurs de la différentielle f{x)ÙLX ouf{x)dx, lorsque x varie d'une manière continue, c'est-à-dire en prenant des accroissements successifs infiniment petits, dans l'intervalle considéré.

762. Ainsi, en se plaçant au point de vue du calcul, et V accroissement fini d'une fonction étant égal à la somme des accroissements infiniment petits qu'elle prend successivement dans l'intervalle proposé (5W), on voit que, pour déterminer une intégrale définie telle que (3) [761], il faut trouver la fonction F(x) dont la dérivée estf(x) ou la différentielle f(x)dx9 remplacer dans cette fonction ¥(x) la variable x par sa limite supérieure xl9 puis par sa limite inférieure x9, et retrancher le second résultat du premier.

ALGÈBRE SUPÉRIEURT. 6^3

II est entendu, pour le moment, que/(.r) conserve une valeur finie et continue depuis x = x0 jusqu'à x — xu et que les deux limites x0 et xx sont elles-mêmes finies.

763. Voici quelques remarques essentielles au point de vue •des applications :

i° Les signes d et f représentent des opérations inverses l'une de l'autre et se détruisent mutuellement lorsqu'on les superpose.

On a donc, par définition même et en laissant la constante •de côté,

<4) d Cf(x)dx=f(x)dx et fdF(x)=zF(x).

a0 Quand on intervertit V ordre des limites, on change le signe de V intégrale définie.

On a, en effet, par convention (758, 762) et ¥r(x) étant •égale à /(*r),

f9f(x)dx=F{x0)-F(x1), <et il en résulte

<5) f lf(x)dx=:^f9/(x)dx

3° Une intégrale peut présenter des éléments négatifs, -chaque produit f(x)&x ou f(x)dx étant, dans tous les cas, positif ou négatif, suivant que ses facteurs sont de même signe ou de signes contraires.

Au lieu d'avoir une courbe telle que AB, la courbej =/(#) peut (fg. 20) affecter la forme AKMLB. Elle coupe alors -deux fois l'axe 0 x en K et en L.

Les deux portions d'aire ACK et LDB, situées au-dessus de l'axe Ox} sont positives, tandis que la portion d'aire KML, située au-dessous de cet axe, est négative.

De G. — Cours. 111. 43

En posant OC = x0, OD = xu Taire totale ÀCK-KML + LDB sera toujours représentée par

A*)dx = E{a;l)-F(x0)f

et elle pourra être nulle, si la partie négative KML est égale, en valeur absolue, à la somme ACK -+■ LDB des parties positives.

Fig. ao.

4° La dérivée f(x) de F(x) restant finie et continue quand x varie de x0 à xu de x% à xx> de xt à xiy . . . , de xn^l à x , on a la formule

f nf(x)dx=f lf(x)dx+f %f{x)dx+...+ rmf{x)djr. J*o J** J*x *4.t

En effet, la formule (6) revient à l'identité

La formule (6) subsiste, lors même que les limites ne sont pas rangées par ordre de grandeur, les éléments du second membre qui ne se retrouvent pas dans le premier se détruisant nécessairement deux à deux. On peut le vérifier facilement, en ne considérant, par exemple, que les limites x0, xl9 xty xZ} disposées dans l'ordre x0} xs, xz, a?,.

50 Sif(x) ety(x) sont deux fonctions qui restent continues pour les valeurs de x comprises entre les limites x0 et xx > x0 et si, dans cet intervalle, on a toujours J (x) > y(x), on a aussi

f(x)dx>l y(x)dx.

Les deux intégrales définies sont des limites de sommes, et chaque élément différentiel de la première somme est, par hypothèse, supérieur à l'élément différentiel correspondant de la seconde. L'inégalité indiquée est donc vérifiée.

Cette remarque permet de renfermer une intégrale définie entre deux limites.

En effet, si la fonction f{x) demeure comprise entre les fonctions ty(x) et o(x)y dans l'intervalle (x0, ^i), et que ces fonctions soient continues dans cet intervalle, on a, d'après ce qu'on vient de dire,

<b(x)dx> f(x)dx> <f{x)dx.

Si l'on ne sait pas intégrer f{x)dx et si l'on sait, au contraire, intégrer ty(x) dx et y(x)dx9 on obtiendra donc deux limites de l'intégrale inconnue.

764. Nous terminerons ces préliminaires, en montrant que le théorème fondamental sur les intégrales définies (761) peut être établi directement par l'Analyse, à l'aide des principes du Calcul différentiel.

Admettons que F(^) soit Tune quelconque des intégrales t\e f(x) dx (760) : on WLT*f(œ) = T(x).

Par suite, a étant une fonction de x et de ùlx qui s'annule en même temps que Ax, on pourra écrire (54-5)

(.)'■ "'^-"".iwh

c'est-à-dire

(2) AF(o?) = [/(aO + a]A*;'

Si l'on fait maintenant varier x par degrés de plus en plus rapprochés, depuis x = x0 jusqu'à x-=zxu la continuité de f(x) étant supposée, on obtiendra, pour chaque valeur at-

tribuée à x, une équation analogue à l'équation (?). En ajoutant toutes ces relations membre à membre, le premier membre de l'égalité résultante, somme des accroissements AF(.r), représentera l'accroissement total de F(o?) entre les l limites indiquées ou F^j) — F(a?0), et Ton aura

x-xt x=jr,

(3) V(xl) — V(*9) = lim£f(x)A* + \\m2à air.

x =z .r0 x = xQ

Mais 2 A.r a ici pour limite finie .r, — j?0. Par conséquent,

les valeurs de a étant à la limite infiniment petites, on a, d'après un théorème précédemment démontré (528),

lim \* «A,r = o,

et il reste

X=Xt ^xt

(4) F(*,)-F(*i) = lim2/(*)A*=J /(*)«**.

Ainsi, l'intégrale définie est bien la somme des valeurs infiniment petites de la différentielle (547), entre les limites indiquées.

Procédés d'intégration les pins simples.

765. L'opération par laquelle on passe de la différentielle d'une fonction à cette fonction elle-même porte le nom cT/#itégration.

Puisque. les deux opérations, Différentiation et Intégration, sont inverses l'une de l'autre, chaque proposition relative à la différentiation a sa réciproque dans l'intégration.

On trouvera, à la fin de ce Volume, deux Tableaux parallèles, qui se répondent et se complètent mutuellement. Le premier renferme les différentielles et les dérivées les plus simples et les plus usuelles; le second fait connaître les intégrales qui résultent spontanément, pour ainsi dire, de la lecture des différentielles inscrites dans le premier.

Nous allons entrer dans quelques développements sur ce point, et indiquer ensuite les autres procédés les plus élé-

ALGEBRE SUPÉRIEURE. G'j'J

mentaires. Nos lecteurs n'auront pas besoin, en général, d'aller plus loin, lorsqu'ils étudieront la Géométrie analytique (t. V),