Soit encore

r dx J v/i — x*

La différentielle de arcsina? est précisément (609) celle qui est placée sous le signe / . On a donc

/' dx

= arcsina:-t-C.

Mais il se présente ici, pour le passage à l'intégrale définie, une difficulté dont il faut être averti.

Supposons que les limites données soient x =— 1 et x = 1. Nous aurons

rl dx • , x

I — = = arc sin 1 — arc sin(— 1).

J—iSjl — x2

Or, à un même sinusa?, correspondent une infinité d'arcs compris dans les formules (Trigon., 12)

2kit-hx et (2À:-f- j)tt — x,

k étant un entier quelconque. La fonction arc sin x n'est donc

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 679

pas complètement déterminée, et il en est de même des deux termes arcsini et arc sin — i, lorsqu'on les considère séparément; mais leur différence n'est pas indéterminée. C'est ce que nous allons montrer.

Les deux arcs (arc sin i et arc sin — i) peuvent faire partie, soit de la première formule générale que nous venons de rappeler, soit de la deuxième, soit, respectivement, de Tune et de l'autre. Le résultat demeurant identique, comme il est facile de le vérifier, nous admettrons que les deux arcs appartiennent à la première formule

$kiz -+-x.

Nous pourrons alors écrire

arc sin i = 2 kiz -+- - , arc sin — 1 = 2 À- 7: >

k conservant, bien entendu, la même valeur dans les deux égalités, puisqu'il s'agit d'un arc variant d'une manière continue depuis la valeur pour laquelle son sinus est — 1 jusqu'à celle pour laquelle son sinus est 1.

Il en résultera finalement

/ — : = [2ki:-\ ) — ( 2ÀT7T— - ) = 7T.