Si l'on donnait

on aurait, de même (613),

Ç dx __

arc tanga? -+■ C.

Il s'ensuivrait

^ dx

j x + xi = arctangi — arctang(— 1).

A une même tangente x correspondent une infinité d'arcs compris dans la formule (Trigon., 23)

ki: h- x.

680 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

Le plus petit arc dont la tangente est i étant -. > on pourra

donc écrire, sans ambiguïté (767), et en supposant l'entier k quelconque,

769. La comparaison des deux Tableaux indiqués (765> conduira sans peine à d'autres résultats analogues, qu'il faut, autant que possible, retenir par cœur.

11 est essentiel de remarquer, à ce sujet, que la fonction logarithmique (766) et les fonctions circulaires inverses (767, 768) sont des intégrales de différentielles algébriques» Ces fonctions se seraient donc présentées nécessairement, dès le début du Calcul intégral, comme des éléments analytiques nouveaux, lors même que l'Algèbre et la Trigonométrie n'en auraient pas donné d'avance la théorie. On comprend par là, sans insister, qu'il est dans la nature même de l'intégration de donner naissance à de nouveaux types de fonctions en nombre illimité et que, par conséquent, les Mathématiques trouvent dans ce calcul inverse une mine inépuisable de recherches.