THÉORÈMES DE TRANSFORMATION ET DE DÉCOMPOSITION

770. I. On peut, à volonté, faire sortir un facteur constant du signe I ou le faire entrer sous ce signe.

On a, évidemment, (i) / <*f{*) dx—al f(x) dx,

a étant un facteur constant.

En effet, tout facteur constant persiste dans la différentiation (573), et deux fonctions qui ont la même différentielle ne peuvent différer que par une constante arbitraire additionnelle (760).

On peut dire encore qu'il revient au même de multiplier par un facteur constant chaque élément d'une somme ou la somme tout entière.

Ainsi, l'expression a I f(x)dx a pour différentielle af(x)dx

et, comme elle renferme implicitement une constante arbitraire, elle représente bien l'intégrale indéfinie de a/(x)dx. On aura donc, entre les mômes limites x0 et xu

I a/(x) dx = a I f(x) dx.

"771. II. L'intégrale d'une somme algébrique de différentielles est égale à la somme algébrique des intégrales de ces différentielles.

En effet, u, v et l, étant des fonctions de x, on a (568)

d (u -h <> — t) = du-\- dv — dt.

On a donc aussi

(a) jd{u -)-v—t)= (du -h ldv — jdt;

car les deux membres de cette égalité ont même différentielle, et chaque intégrale indéfinie entraîne avec elle une constante arbitraire additionnelle.

On aura, par suite, entre les mêmes limites x0 et xl9

I d(u + v — t)z=l du -h l dv— I dt.

772. Le plus ordinairement, l'expression qui est sous le signe

n'est pas une différentielle connue ; mais il suffit souvent

d'une simple multiplication par un facteur constant convenablement choisi pour faire apparaître cette différentielle, el l'on peut alors regarder encore l'intégration comme immédiate. Le théorème I (770) a donc des applications très nombreuses, puisque l'on n'aura qu'à diviser ensuite le résultat obtenu par le facteur auxiliaire employé.