i° Soit, par exemple

xmdx.

La quantité xmdx n'est pas une différentielle connue;

mais, en multipliant sous le signe par m-\- i, on voit que (m-\- i)xmdx

est précisément la différentielle de xm+l (576). Il en résulte qu'en multipliant sous le signe par m -+- 1 et,

en dehors du signe, par > les deux opérations se détruiront (770),. en donnant

xmdx= / {m-*r\)xmdx

Il est utile d'énoncer ce résultat sous forme de règle ; car il n'en est pas de plus usuel.

Lorsque la fonction dérivée placée sous le signe f est une

puissance, on obtient immédiatement l'intégrale, sauf la constante, en augmentant d'une unité l'exposant de la puissance et en divisant le résultat par l'exposant ainsi modifié.

En appliquant cette règle et le théorème II (771), on peut écrire immédiatement l'intégrale qui correspond à une fonction dérivée exprimée par un polynôme rationnel en x.

On a ainsi

/ (5#4-+- 2xz— 7<rî-h 5x — 3)dx

= / 5xkdx-+- I 2x3dx — / jx* dx -+- I 5xdx — / 3dx

. Xk HX* Sx* 0 ~

= x*-{ ^-5- -\ Sx H- C.

Les lecteurs feront bien, dans les commencements, de vérifier toujours le résultat de l'intégration effectuée, en prenant les différentielles des deux membres.

Nous ne devons pas terminer ce paragraphe, sans faire remarquer le cas d'exception qui se présente, lorsqu'on suppose dans la formule générale (3), m = — 1. On trouve alors

"dx 1 r

au lieu de lx-\-C que l'on devrait obtenir (766, i°). Il ne faut pas d'ailleurs s'étonner que la formule générale devienne illusoire dans cette hypothèse, puisque l'intégrale Ix -+- C, ces-

sant d'être algébrique, ne peutplus être représentée par l'expression

Un artifice de calcul peut conduire au résultat exact. C étant une constante arbitraire, on peut, sans rien modifier,

retrancher dans le second membre la fraction ? et écrire

xmdx = hC.

Pour m =— i , la fraction du second membre prend la forme -• Mais, si Ton applique la règle de L'Hospital (711), en prenant le rapport des dérivées des deux termes relativement à

m, on trouve d'abord

xm+x lx

et, ensuite, pour m = — i, lx. On retombe bien ainsi sur la formule connue