Quelques exemples éclairciront ce qui précède

i° Soit d'abord

dx

s/tf—x*

La quantité placée sous le signe / n'étant pas une différentielle connue, nous poserons, en désignant par t une nouvelle variable indépendante,

x = at, d'où dx = ad t.

Il viendra, en substituant

/dx r adl r dt

, = / , = / , = arc sin* -+- C,

c'est-à-dire, en revenant à x,

dx . x -,

= arc sin - -+- C.

Il est clair, d'ailleurs, qu'on aurait pu éviter l'emploi du procédé par substitution, en s'appuyant sur le théorème relatif à la différentiation des fonctions de fonctions (775), et en posant directement

/dx — t = arc sin |-)+C.

11 en sera souvent ainsi dans les exemples simples, où le procédé dont il s'agit aura surtout pour objet de soulager l'attention.

2° Soit encore

f(ax + b)mdx.

Posons

ax -+- b = t.

Il en résultera

t—b 4 , dt

x= et dx= — •

En substituant, on aura donc

(ax + b)mdx = - ! tmdt = hC

aj a ttch-i

ou, en revenant à x9

Puisque la différentielle de ax + b est adx, on aurait pu aussi, dans cet exemple, éviter toute substitution et écrire immédiatement

f(ax + b)mdx=:- f(ax -h b)'*adx = 1 ^aX + b^1 4- C. 3° Considérons, en dernier lieu, l'intégrale fréquemment

688 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

rencontrée

r dx

en supposant que les racines de l'équation j?!+6a: + c = o sont imaginaires, auquel cas on a {Alg. élém., 237)