INTÉGRATION PAR PARTIES

781. Ce procédé d'intégration est très important. 11 est très fréquemment mis en œuvre et offre de précieuses ressources.

u et v étant deux fonctions de x, nous avons trouvé pour la différentielle de leur produit (570)

(i) duv z=z u dv -h v du .

On a donc, en intégrant les deux membres (771),

uv ■= / udv -4- / v du et, par suite, (2 ) / u dv - uv — / v du.

Nous n'avons pas ajouté de constante, parce que chaque membre de l'équation (i), intégré, comporte une constante arbitraire.

Puisque uv est une partie intégrée, on ramène de cette

manière la recherche de l'intégrale / udv à celle de l'intégrale I vduy qui peut être plus simple, ou mieux se prêter

aux exigences de la question à traiter.

On voit que, dans les deux intégrales substituées ainsi Tune à l'autre, les fonctions et les différentielles sont permutées : on a, dans la seconde, v à la place de u et du à la place de dv.

Ce procédé pourrait s'appeler aussi intégration par facteurs, puisqu'il est fondé sur la décomposition du produit qu'on veut intégrer en deux facteurs, dont l'un soit une différentielle connue : dans le produit udvf dv est la différentielle connue de la fonction v.

782. Si l'on veut appliquer la formule (i) [781] à la recherche d'intégrales définies, on a, en appelant u0 et i'0, wt et «',, les valeurs des fonctions u et v pour x — x0 et ar-=a-l9

(3) / udv = [/^i i'i — «o(,o] — / vdu.

De C. - Cours. III. L\

69O ALGEBRE SUPÉRIEURE*

783. Nous allons appliquer l'intégration par parties à quelques exemples choisis.

i° Soit l'expression

/ Ix dx.

Si Ton se reporte à la formule (2) [781], on a ici

u = lx. V — x9 du=: —

Par suite,

/ Ix dx — xlx — lx — ■= xlx — x -t- C.

20 Soit l'expression

/arc tango; dx.

On a ici

dx

u = arc tango?, c-j, du =