j:1 Par suite

/ arc tango? dx = x arc tango? — / x j

= x arc tango? /(i + x*) ■+- C.

?j° Soit l'expression

I xé* dx.

Ici, e* tfo? est la différentielle connue de ex. On a donc

u ■=. x9 v = é*) dw=i dxy et, par conséquent,

/ xe*dx=:xex— I exdx = xe*— e*H- G.

4° Soit l'expression

/ avcsmxdx.

On a ici

, dx a = arc sin .r, i> = #, du — -- •

yi — x1

par suite,

/nrcsinxdx — xdLVcsina; — / x .

On peut d'ailleurs écrire

/dx r — ix dx , -

x —— I — —-- yi — x*,

\/i — x* J isjv — x1

et Ton a, finalement,

/ arcsinor dx — .rarcsina?-*- vA — x* -t-C.

784. On peut avoir à appliquer le même procédé plusieurs fois et successivement, jusqu'à ce que Ton parvienne à une dernière intégrale, immédiatement connue.

5° Soit l'expression

I x*ex dx.

On a ici

u — jc3, v — é*y du— 3x*dx.

Par suite,

/ xzexdx^= x*e*— f e*3xsdx.

On devra calculer la seconde intégrale par le môme procédé et en posant

u = 3x*9 c» z=z e*, du =r. 6x dx. On aura ainsi

Ç$x1exdx=.Zx*ex— fe*Ç>xdx.

En opérant encore de même et en posant une troisième lois u r= 6xf v = é*y dut=6 dx, il viendra enfin

Çbxexdx^Qxe*— fe*6dx — 6xe*—6ex.

6g2 AXGEBRE SUPÉRIEURE.

On trouvera donc, finalement, en substituant dans la pre mière formule les résultats successivement obtenus,

fx*e*dx = e* (a?8— 3#s-f- 6a? — 6).

6° Soit, encore, l'expression

/ xm cosx dx.

cosxdx étant la différentielle de sin*r, on peut poser

u = xmf r = sin x, du =r m xm~l dx. Par suite,

/ xm cosxdx ■== xm sin x — m j xm~l sïnxdx. On peut mettre la seconde intégrale sous la forme — / x"1-1 sïnxdx ■=■- I j:7"-1 (— sin.r dx)

et poser, puisque — sxnxdx esl la différentielle de cos.r,

u — xm-lt v — cos x9 du = ( m — i ) xm ~- dx. On a ainsi

— / xm~l sïnxdx = xm~x cosa? — (m — i) I a?7"-* cosxdjr.

La question est donc ramenée à la recherche de l'intégrale

I xm-* cosxdx,

qui esl de même forme que la proposée, sauf l'exposant de j. On devra, par conséquent, poursuivre l'application du procédé jusqu'à ce que, m étant supposé entier et positif, et diminuant d'une unité à chaque opération, on parvienne à l'intégrale connue

/ cosxdx ou / — sinxdx,

suivant que m sera pair ou impair. L'opération sera alors terminée.

.ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 6gi

Prenons, pour fixer les idées, m = 4- Nous aurons successivement

/ x* cos x dx — x% sin x — 4 / x* sin x dx,

— I x3 sin x dx — x% cos.r — 3 / x1 cosa? dx, I x1 cos x dx = J7S sin a? — 2 f x sin# ûfcr,

— / x s\nxdx~x cosj? — I cosxdx = xcosx — sin.r, c'est-à-dire, finalement,

/ x*cos.r££r = sin.r[j7v— i2.r*-h 24] H- 4 & cos ^[x* — 6]-hC,

Cas particuliers des intégrales définies (')•